Меню Рубрики

Геометрия полезные свойства

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ.

Уважаемые родители! Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Ваши выгоды очевидны:

1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны;

2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях. Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске.

3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами!

Напишите мне по адресу: a@tayak.ru или сразу добавляйтесь ко мне в скайп, и мы обо всём договоримся. Цены доступные.

P.S. Возможны занятия в группах по 2-4 учащихся.

С уважением Татьяна Яковлевна Андрющенко.

Друзья! Весь справочный материал (и по алгебре, и по геометрии) в виде сборника 431 формул и правил вы можете получить здесь. Распечатаете, и получится удобная книжечка! Инструкцию по распечатке смотрите здесь.

P.S. Друзья, конечно, это бесплатно!

Дорогие друзья! Готовитесь к ОГЭ или ЕГЭ?

Вам в помощь «Справочник по геометрии 7-9». Подробнее здесь.

Определение параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: AB||CD, AD||DC.

Противоположные стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=DC.

Противоположные углы параллелограмма равны:

A=C,B=D.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне составляет 180°.Например, ∠A+B=180°.

Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Δ ABD=Δ BCD.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. AO=OC, BO=OD. Пусть АС=d1 и BD=d2 , ∠COD=α. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

  • Если две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Площадь параллелограмма.

1) S=ah;

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. ABCD — прямоугольник. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали прямоугольника равны.

AC=BD. Пусть АС=d1 и BD=d2 , ∠COD=α.

d1=d2 – диагонали прямоугольника равны. α – угол между диагоналями.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов сторон прямоугольника:

Площадь прямоугольника можно найти по формулам:

1) S=ab; 2) S=(½)· d²∙sinα; (d- диагональ прямоугольника).

Около любого прямоугольника можно описать окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей; диагонали являются диаметрами окружности.

Ромб.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

ABCD — ромб.

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

AC | BD.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба.

1) S=ah;

4) S= P∙r, где P – периметр ромба, r – радиус вписанной окружности.

Квадрат.

Все стороны квадрата равны, диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Диагональ квадрата d=a√2.

Площадь квадрата. 1) S=a 2 ; 2) S=(½) d 2 .

Трапеция.

Основания трапеции AD||BC, MN-средняя линия

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S=(AD+BC)∙BF/2 или S=(a+b)∙h/2.

В равнобедренной (равнобокой) трапеции длины боковых сторон равны; углы при основании равны.

Площадь любого четырехугольника.

  • Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:
  • Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:

Вписанные и описанные четырехугольники.

В выпуклом четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

Если суммы противолежащих углов четырехугольника равны по 180°, то около четырехугольника можно описать окружность . Обратное утверждение также верно.

Если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны (a+c=b+d), то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Обратное утверждение также верно.

Окружность, круг.

1) Длина окружности С=2πr;

2) Площадь круга S=πr 2 ;

3) Длина дуги АВ:

4) Площадь сектора АОВ:

5) Площадь сегмента (выделенная область):

(«-» берут, если α 180°), ∠AOB=α – центральный угол. Дуга l видна из центра O под углом α.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c²=a²+b².

Площадь прямоугольного треугольника.

SΔ=(½) a∙b, где a и b — катеты или SΔ=(½) c∙h, где с — гипотенуза, h –высота, проведенная к гипотенузе.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности.

2r=a+b-c

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу: h 2 =ac∙bc;

а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу: a 2 =c∙ac и b 2 =c∙bc (произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов: h, a, b — средние члены соответствующих пропорций).

Теорема синусов.

В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Следствие из теоремы синусов.

Каждое из отношений стороны к синусу противолежащего угла равно 2R, где R — радиус окружности, описанной около треугольника.

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других ее сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Свойства равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике (длины боковых сторон равны) высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет 180°, т. е. ∠1+∠2+∠3=180°.

Внешний угол треугольника (∠4) равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т. е. ∠4=∠1+∠2.

Средняя линия треугольника соединяет середины боковых сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине: MN=AC/2.

Площадь треугольника.

Формула Герона.

Центр тяжести треугольника.

Центр тяжести треугольника — точка пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Длина медианы, проведенной к стороне а:

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, площадь каждого из этих двух треугольников равна половине площади данного треугольника.

Биссектриса угла треугольника.

1) Биссектриса угла любого треугольника делит противоположную сторону на части, соответственно пропорциональные боковым сторонам треугольника:

2) если AD=βa, то длина биссектрисы:

3) Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Площадь треугольника SΔ=(½) P∙r, где P=a+b+c, r-радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус окружности, описанной около любого треугольника:

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы: R=АВ/2;

Медианы прямоугольных треугольников, проведенных к гипотенузе, равны половине гипотенузы (это радиусы описанной окружности) OC=OC1=R.

Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников.

Окружность, описанная около правильного n-угольника.

Окружность, вписанная в правильный n-угольник.

Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна 180°(n-2).

Сумма внешних углов любого выпуклог0 n-угольника равна 360°.

Прямоугольный параллелепипед.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. a, b, c – линейные размеры прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

1) Диагональ прямоугольного параллелепипеда d 2 =a 2 +b 2 +c 2 ;

4) Объем прямоугольного параллелепипеда V=Sосн.∙Н илиV=abc.

Куб.

1) Все грани куба – квадраты со стороной а.

2) Диагональ куба d=a√3.

3) Боковая поверхность куба Sбок.=4а 2 ;

4) Полная поверхность куба Sполн.=6а 2 ;

5) Объем куба V=a 3 .

Прямой параллелепипед (в основании лежит параллелограмм или ромб, боковое ребро перпендикулярно основанию).

3) Объем прямого параллелепипеда V=Sосн.∙Н.

Наклонный параллелепипед.

В основании параллелограмм или прямоугольник или ромб или квадрат, а боковые ребра НЕ перпендикулярны плоскости основания.

1) Объем V=Sосн.∙Н;

2) Объем V=Sсеч.l, где l боковое ребро, Sсеч.-площадь сечения наклонного параллелепипеда, проведенного перпендикулярно боковому ребру l.

Прямая призма.

Боковая поверхность Sбок.=Pосн.∙Н;

Объем прямой призмы V=Sосн.∙Н.

Наклонная призма.

Боковая и полная поверхности, а также объем можно находить по тем же формулам, что и в случае прямой призмы. Если известна площадь сечения призмы, перпендикулярного ее боковому ребру, то объем V=Sсеч.l, где l- боковое ребро, Sсеч.-площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру l.

Пирамида.

1) боковая поверхность Sбок. равна сумме площадей боковых граней пирамиды;

2) полная поверхность Sполн.=Sосн.+Sбок.;

3) объем V=(1/3) Sосн.∙Н.

4) У правильной пирамиды в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника, т. е. в центр описанной и вписанной окружностей.

5) Апофема l –это высота боковой грани правильной пирамиды. Боковая поверхность правильной пирамиды Sбок.=(½) Pосн.l.

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Усеченная пирамида.

Если S и s соответственно площади оснований усеченной пирамиды, то объем любой усеченной пирамиды

где h-высота усеченной пирамиды.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды

где P и p соответственно периметры оснований правильной усеченной пирамиды,

l-апофема (высота боковой грани правильной усеченной пирамиды).

Цилиндр.

Боковая поверхность Sбок.=2πRH;

Полная поверхность Sполн.=2πRH+2πR 2 или Sполн.=2πR (H+R);

Объем цилиндра V=πR 2 H.

Конус.

Боковая поверхность Sбок.= πRl;

Объем пирамиды V=(1/3)πR 2 H. Здесь l – образующая, R — радиус основания, H – высота.

Шар и сфера.

Площадь сферы S=4πR 2 ; Объем шара V=(4/3)πR 3 .

«Если бы геометрия так же противоречила

нашим страстям и интересам, как нравственность,

то мы бы так же спорили против нее

и нарушали ее вопреки всем доказательствам»

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Актуальность: В прошлом учебном году я начала изучать предмет геометрию и, по мнению многих учащихся (провела опрос учащихся седьмых классов), он является одним из сложных школьных предметов. Многие, 81% из опрошенных учащихся, не совсем понимают, а зачастую и не знают практического значения геометрии в жизни. Я также не совсем понимала необходимость изучения предмета геометрия.

Читайте также:  Кунжут полезные свойства для детей

Проблема: Для чего мы изучаем геометрию, где можно применить полученные знания, как часто приходится сталкиваться с геометрическими фигурами? Встречается ли где-нибудь информация, связанная с геометрией, кроме уроков математики?

Гипотеза: Если человечество на протяжении многих веков приобретало всё новые и новые знания по геометрии, то где эти знания применяются и используются.

Предмет: использование геометрии вне школы.

Цель: найти доказательство практической значимости геометрии в жизни человека.

Изучить историю возникновения геометрии.

Познакомиться с профессиями, которые напрямую связаны с геометрией.

Узнать, чем может помочь геометрия на практике.

Провести анализ полученных результатов.

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Слово геометрия — греческое, в переводе на русский язык означает землемерие. Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности. Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением геометрии как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в геометрии, и есть пространственная форма. Поэтому в геометрии говорят, например, шар, а не тело шарообразной формы. Расположение и размеры определяются пространственными отношениями. Наконец, преобразование, как его понимают в геометрии, также есть некоторое отношение между двумя фигурами — данной и той, в которую она преобразуется.

1.1. Историческая справка

Геометрия возникла давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (от греч. ge — земля и metrein — измерять)— наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей. Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем. Но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории. Геометрия дает общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность. Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением геометрии как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура и есть пространственная форма; поэтому в геометрии, например, говорят, «шар», а не «тело шарообразной формы». Расположение и размеры определяются пространственными отношениями; наконец, преобразование, как его понимают в геометрии, так же есть некоторое отношение между двумя фигурами — данной и той, в которую она преобразуется.

1.2. Геометрия в 21 веке

Посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, подводные лодки, интерьеры квартир — всё имеет геометрическую форму. Геометрические знания являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей: для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и учёных. И уже этого достаточно, чтобы ответить на вопрос: «Нужно ли нам геометрия?»

Недостаток жизненного опыта позволяет некоторым школьникам и даже студентам думать, что больше половины изучаемых предметов абсолютно бесполезны и никогда не пригодятся в жизни. На самом деле, знания могут прийти на помощь в неожиданный момент, и доставать учебники уже не будет времени. Одна из полезнейших наук — геометрия, некоторые виды деятельности без нее немыслимы.

Без знания геометрии невозможно построить дом или отремонтировать квартиру. Например, при установке стропил на крышу понадобится формула расчета высоты треугольника, особенно, если крыша несимметричная. Без этого нельзя будет рассчитать длину перекладин, а также узнать количество кровельного материала. Чтобы посчитать количество блоков или кирпичей для стены, плиток для ремонта ванной комнаты, досок для пола — необходимы знания формул площади поверхности, а для объемных покрытий, например, утеплителей — формул объема. Для разработки системы вентиляции, обогрева, канализации или водоснабжения в доме или квартире потребуется расчет внутреннего объема труб, а это невозможно сделать без формулы площади круга. Конечно, можно доверить это профессионалам — но без знания геометрии будет невозможно даже разобраться в чертежах и проверить качество работы. Вообще, чертежи встречаются даже далекому от них человеку на протяжении всей жизни. Это чертеж дома или план ремонта, чертежи деталей на заводе, знать которые нужно не только конструктору и технологу, но и токарю, сварщику, контролеру, менеджерам отделов закупок и продаж. С чертежами непременно столкнется автолюбитель, который захочет провести ремонт своей машины.

Геометрия присутствует практически во всех сферах нашей жизни: нас окружают круглые, квадратные, прямоугольные, треугольные, сферические, кубические, цилиндрические, конические и другие объекты.

Обычно мы не задумываемся о том, почему объекты имеют ту или иную форму, а ее выбор далеко не случаен.

Одна из самых распространенных форм – это окружность и то, что ею ограничено, то есть круг. Вы, наверное, не задумывались, почему трубы – круглые в сечении? Одна из причин в том, что окружность – это замкнутая дуга с постоянной шириной. По этой причине, например, люки не проваливаются вниз, что приводило бы к несчастным случаям, а будь они квадратной или прямоугольной формы, это стало бы неизбежным.

Еще одно свойство окружности: из всех замкнутых кривых заданной длины круг покрывает наибольшую площадь. Это объясняет тот факт, что природа часто использует круг и его объемный эквивалент – сферу. Природа всегда останавливает выбор на самых стабильных формах, минимально расходующих энергию.

2.1. Профессии, связанные с геометрией

Конечно, математика нужна нам везде: в автобусе, в магазине, дома и в школе. Однако профессии, где нужна только геометрия, не встречаются.

Архитектура – это музыка, застывшая в камне. На мой взгляд, самая “геометрическая профессия” – архитектор. Архитектура — одна из наиболее всеобъемлющих областей человеческой деятельности, занимающаяся организацией пространства и времени и решающая любые пространственные и временные задачи, от разработки стратегий развития агломераций до дизайна дверных ручек. Перед тем как построить жилое здание, проектируют будущую постройку на чертежах в уменьшенном масштабе. Архитектор придумывает основную концепцию здания, его облик, увязывает воедино все нюансы. Задача архитектора — спроектировать сооружение, максимально отвечающее потребностям заказчика.

Еще одна немаловажная профессия — инженер. Инженер-строитель — это производитель работ, т.е. прораб, он руководит общестроительными работами, монтажом конструкций, осуществляет контроль над качеством.

В проектных организациях инженеры выполняют работы по комплексному проектированию: архитектурной, конструктивной части (электроснабжение, отопление и вентиляция, водопровод и канализация, слаботочные системы — телефон, пожарная сигнализация, теленаблюдение и др.). Кроме того, разрабатывают генеральные планы проектируемых комплексов, куда входят дороги, земляные работы, организация строительства. Направление деятельности строителей очень широкое — кроме возведения зданий, производственных комплексов, фабрик, они проектируют мосты, гидротехнические сооружения, плотины, дамбы и т. д.

Дизайн — это творческая деятельность, целью которой является определение формальных качеств изделий промышленности. Эти качества включают и внешние черты изделия, но главным образом те структурные взаимосвязи, которые превращают изделие в единое целое, как с точки зрения потребителя, так и с точки зрения изготовителя. Быть дизайнером это означает быть творческой личностью. Для этого те, кто решил выбрать эту профессию, отправляются на специальные курсы подготовки, куда обязательно будут входить изучение черчения, геометрии и других специальных программ, которые пригодятся будущему специалисту.

Конструктор осуществляет конструкторское и технологическое проектирование, разрабатывает и внедряет инновационные технологические процессы производства, разрабатывает технологические конструкции различного назначения, отдельные их элементы и части, цехи. Проводит исследования в области конструирования с использованием новых разработок, достижений различных областей науки. Для того чтобы стать конструктором, необходимо изучать технику, механику, физику, алгебру, геометрию, химию. И обладать такими качествами как: высокая концентрация и устойчивость внимания, логика, технический склад ума.

Модельер — специалист по изготовлению моделей одежды, создатель экспериментальных образцов, определяющий образ и стиль, общее конструктивное решение, изобретающий новые технологические решения и разрабатывающий декор, выбирающий цвет и материалы, продумывающий аксессуары и дополнения. Благодаря работе модельера наши вещи становятся более удобными, стильными и качественными.

Наш характер определяется многими признаками, но оказывается, не остается в стороне и геометрия. Когда мы смотрим на какие-либо предметы, то на подсознательном уровне, сопоставляем их с какими-то геометрическими фигурами и стараемся окружить себя такими же.

Читайте также:  Зверобой трава полезные свойства и применение чай для лечения

Существует даже такая наука — психогеометрия. Суть её состоит в исследовании личности. В её основе лежит учение Карла Юнга о психических типах личностей. Однако автором психогеометрии является Сьюзен Деллингер — специалист по социально-психологической подготовке управленческих кадров. Работа С. Деллингер «Психогеометрия: как использовать психогеометрию для воздействия на людей» очень популярна в США. В нашей стране труд С. Деллингер был переработан нашими соотечественниками Анатолием Алексеевым и Ларисой Громовой.

Психогеометрия — это уникальная практическая система анализа личности. Она позволяет:

Мгновенно определить тип личности интересующего вас человека и вашу собственную форму.

Дать подробную характеристику личностных качеств и особенностей поведения любого человека.

Составить сценарий поведения для каждой формы личности в типичных ситуациях.

Чтобы определиться в мире психогеометрии, которая как оказалось, влияет на все наши поступки, Деллингер выявила пять психологических типов, каждому из которых соответствует своя геометрическая фигура: квадрат, круг, треугольник, зигзаг, прямоугольник. Каждая фигура имеет свои психологические особенности и по-разному взаимодействует с остальными. Что ж, заманчиво, не правда ли? Да и не поспоришь ведь, что «круглые» глаза иногда смотрят на мир иначе, чем «квадратные»!

Исследование личности с помощью психогеометрии позволяет быстро и точно нарисовать психологический портрет испытуемого, узнать какие черты его характера являются главными, а какие – второстепенными, а также понять, с кем человеку сложнее всего взаимодействовать.

2.2. Применение геометрии на практике

В школе мы несколько лет подряд прилежно изучаем геометрию. Но не зря ли мы тратим время? Чем может помочь геометрия в жизни? Измерить расстояние от точки до точки, вычислить площадь или объём предмета и только? Нет, конечно. Законы геометрии применимы буквально на каждом шагу. Просто нужно знать, как ими воспользоваться.

Перед вами стеклянные чайники четырёх моделей одинаковой вместимости (рис. 1). В каком чайнике заваренный чай останется тёплым дольше?

Решение. Из курса физики известно, что время охлаждения пропорционально площади поверхности тела. Значит, чем меньше поверхность чайника, тем дольше остывает чай. Самая маленькая площадь поверхности у четвёртого чайника, так как его форма близка к сфере ( ).

И справление ошибки кроя

Предположим, вам нужно вырезать для аппликации два разносторонних треугольника из цветной бумаги — «левый» и «правый». Вы случайно вырезали их одинаковыми — оба «левые». Можно ли, не используя новый кусок бумаги, исправить ошибку?

Решение. Для исправления ошибки вы можете разрезать один из треугольников, например, так, как показано на рисунке 2, а затем сложить из него нужный треугольник.

Строим прямой угол на земле

Известен старинный способ построения прямого угла на поверхности земли. Его использовали ещё древние египтяне. Они строили прямой угол с помощью обычной верёвки, на которой через равные расстояния завязаны тринадцать узелков. Чтобы отрезки на верёвке были одинаковые, узелки завязывали вокруг колышков, вбитых в землю на равном расстоянии друг от друга. В чём состоит этот «верёвочный» способ?

Решение. В древности при закладке храма такую верёвку с узелками использовали для определения направлений его стен. Концы верёвки на месте крайних узелков связывали, а затем натягивали её на три колышка так, как показано на рис. 3. Стороны при этом имели соотношение 3:4:5. В таком треугольнике один из углов получается прямым. Впоследствии этот факт был доказан в теореме Пифагора. Поэтому первых геометров называли ещё «натягивателями верёвок». Нужно отметить, что таким способом построения прямого угла на местности пользуются и сегодня, например при закладке фундамента небольшого строения.

Выдерживание прямых углов

Если вы решили склеить коробку, сделать шкатулку или выложить плитку, важно, чтобы все детали были точными прямоугольниками или квадратами. В противном случае всё пойдёт наперекосяк. Как проверить, имеет ли деталь нужную «геометрию»?

Решение. Чтобы проверить, у всех ли деталей, с которыми вы работаете, прямые углы и одинаковые линейные размеры, можно использовать строительный угольник (см. рис.4), а можно применить знания по геометрии. Убедитесь в том, что противоположные стороны четырёхугольника равны и при этом диагонали тоже имеют одинаковую длину. Как вы и сами знаете, сделать это можно с помощью линейки. Но вот вопрос: обязательно ли проверять и стороны, и диагонали? Геометрия утверждает, что да! Например, на рис. 5 диагонали в четырёхугольнике слева равны, но очевидно, что его углы совсем не прямые. А в четырёхугольнике справа противоположные стороны равны, но это тоже не прямоугольник. Для проверки прямоугольности геометрия ещё советует убедиться в равенстве всех четырёх отрезков, на которые разбиваются диагонали в точке их пересечения.

Прямоугольная калитка (рис. 6, слева) со временем расшатывается и становится похожей на параллелограмм. Этого можно избежать, прибив к ней ещё одну планку. Только надо знать, как это сделать.

ыбор такого положения планки, как показано на рис. 6, (справа) основан на свойстве жёсткости треугольника. Оно гласит: существует единственный треугольник с заданными длинами сторон. Планка и есть гипотенуза такого треугольника.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели. Так говорил великий немецкий философ, логик, математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Значение геометрии огромно. Геометрия встречается во многих профессиях, без которых человечество не смогло обойтись. Например, перед тем как построить жилое здание, люди проектируют будущую постройку на чертежах в уменьшенном масштабе. Этим занимается архитектор. Тот, кто руководит общестроительными работами и осуществляет контроль над качеством, называется инженером-строителем. Конструктор разрабатывает элементы, части технологических конструкций. Для того чтобы стать конструктором, необходимо сначала выучить множество наук, среди которых присутствует геометрия. С помощью модельера наши вещи становятся более удобными, стильными и качественными. Его задача изготавливать новые модели одежды, определять общее конструктивное решение, придумывать различные дополнения. Психолог с помощью психогеометрии быстро и точно нарисует психологический портрет испытуемого, узнает, какие черты его характера являются главными, а какие – второстепенными, а также поможет понять, с кем человеку сложнее всего взаимодействовать. А если на минуту представить, что геометрии не существует и ни один человек не подозревает о наличие геометрии, то неужели люди до сих пор жили бы в пещерах, ходили на охоту и одевались в шкуры животных? Изучив литературу, интернет — источники, я сделала вывод, что между геометрией и практической действительностью есть множество точек соприкосновения. Со своим проектом я выступила перед учащимися 7 – 8 классов, большинство учащихся о практическом применении геометрии и не ведало. Поэтому смело можно сделать вывод: если бы люди не стали изучать геометрию и пользоваться ею, то прогресс и множество современных изобретений дались бы человечеству с трудом и возможно гораздо позже.

4.Использованные литература и источники

Форум преподавателей «Ваш репетитор»

Вопрос-Ответ → Раздел «Математика, физика, информатика, экономика» → Тема «Полезные свойства геометрических фигур.»
1. DolbininaNU
2. ShulgaDP
3. SimanskayaKU
4. MitrofanovOD
5. BraginaOI
6. ShahmistovaOV
7. BoldinaOB
8. EgorevaEN
9. BabkovEA
10. VenediktovAP
11. GoldaevaAA
12. SeverinovaTB
13. YakovlevIV
14. PopovRA3
15. TrapeznikovSL
16. BelousovaAO
17. LyubimtsevaOA
18. FilippovVG
19. LevykinAA
20. KomarovaED
21. ZheleznovAG2
22. KozlovaSG
23. KozinaEN
24. BurinskayaUV
25. GerasimenkoNU
26. MescheryakovDV2
27. GromovaKA
28. ShvetsovaVV
29. BenensonEP
30. BulushevRI
31. BagaevaAA2
32. AppbaSA
33. ZyablikovSS
34. TarasovaLP
35. KosarevaEV2
36. MurzinKV
37. ChudnovskiiAV
38. AlimbarashviliTI
39. MelnikovaKS2
40. SalnikovaKS
41. VoityukAV
42. SysoevDU
43. BorisyukAU
44. SolntsevaMO
45. LomonosovaOA
46. VoropaevUV
47. LukashSA
48. LiharevaTF
49. SyrbuEN
50. AmosovBA
51. GalizdraAS
52. MedvedevFA
53. PyatigorskayaEI
54. SkorohodovAM
55. PetyakinaUV
56. MamchurVV
57. LevshinskayaTP
58. DavydovaIB
59. HarlamovAV2
60. ChekotiloNM
61. RoiVV2
62. TitovaAV9
63. AnastasiyaVG
64. OsipovichNG
65. StavrovskayaIV
66. KahutinaVG
67. OrlovaEV5
68. InozemtsevaIV
69. KiselevaMD2
70. ProschaevMN

В этой теме планируется собрать свойства геометрических фигур (с доказательствами наиболее сложных), которые помогут облегчить решение планиметрических задач С4.
Если Вы добавляете еще не упомянутое свойство какой-либо фигуры, то начните свой пост с названия этой фигуры, заключив его между тэгами [В]название[/В], которые выделят жирным это название, что позволит читателям быстро разыскивать необходимые свойства.

P.S. В тэгах английская буква B заменена на русскую В, чтобы они был видны, так что, пожалуйста, вводите тэги вручную.

***
Длина прямой, параллельной основаниям трапеции и проходящей через точку пересечения диагоналей, равна среднему гармоническому длин оснований.

***
Длина отрезка средней линии трапеции, высекаемого диагоналями, равна полуразности длин оснований.

***
Отрезок, параллельный основаниям трапеции и делящий ее на две равновеликие трапеции, равен среднему квадратичному длин оснований.

***
Если в трапеции сумма углов при основании равна 90 градусов, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности их длин.

***
Точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой.

***
Диагонали трапеции разбивают ее на 4 треугольника так, что площади треугольников, содержащих боковую стороны, равны среднему геометрическому площадей треугольников, содержащих сторону основания.

***
Вписанная трапеция равнобедренная.

***
У описанной равнобедренной трапеции боковые стороны равны средней линии.

***
Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на ее средней линии и под прямым углом.

***
Отрезок, соединяющий точки пересечения биссектрис углов при каждой из боковых сторон трапеции равен полусумме оснований за вычетом полусуммы боковых сторон.

Математика / Теоремы и определения (геометрия)

Планиметрия без формул.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

1. Сумма смежных углов равна 180 .

Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

2. Вертикальные углы равны.

Угол, равный 90 , называется прямым углом . Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

3. Через каждую точку прямой можно провести и притом только одну, перпендикулярную прямую.

Угол, меньший 90 , называется острым . Угол больший 90 , называется тупым .

4. Признаки равенства треугольников.

— по двум сторонам и углу между ними;

— по стороне и двум прилегающим к ней углам;

— по трем сторонам.

Треугольник называют равнобедренным , если у него две стороны равны. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину

треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называют отрезок прямой, заключенной между вершиной и точкой ее пересечения с противоположной стороной, которая делит угол пополам.

Высота треугольника – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.

Треугольник называется прямоугольным , если у него есть прямой угол. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой . Остальные две стороны, называются катетами .

5. Свойства сторон и углов прямоугольного треугольника :

— углы, противолежащие катетам – острые;

— гипотенуза больше любого из катетов;

— сумма катетов больше гипотенузы.

6. Признаки равенства прямоугольных треугольников: — по катету и острому углу; — по двум катетам; — по гипотенузе и катету;

— по гипотенузе и острому углу.

7. Свойства равнобедренного треугольника :

— в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

— если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

— в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;

— если в треугольнике медиана и биссектриса (или высота и биссектриса, или медиана и высота), проведенная из вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный.

8. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.

9. (Неравенство треугольника). У каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны.

Внешним углом треугольника ABC при вершине A называется угол, смежный углу треугольника при вершине A.

10. Сумма внутренних углов треугольника:

— сумма любых двух углов треугольника меньше 180 ;

— в каждом треугольнике два угла острые;

— внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним;

— сумма углов треугольника равна 180 ;

— внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

— сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника называется средней линией треугольника .

11. Средняя линия треугольника обладает свойством – она параллельна основанию треугольника и равна ее половине.

12. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющей ее концы.

13. Свойства серединного перпендикуляра отрезка:

— точка лежащая на серединном перпендикуляре одинаково удалена от концов отрезка;

— любая точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

14. Свойства биссектрисы угла:

— любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от сторон угла;

— любая точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе угла. 15. Существование окружности , описанной около треугольника:

— все три серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в

одной точке и эта точка является центром описанной окружности. Описанная около треугольника окружность всегда существует и она единственна;

— центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина гипотенузы.

16. Существование вписанной в треугольник окружности:

— все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности. Вписанная в треугольник окружность всегда существует и она единственна.

17. Признаки параллельности прямых .

Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых:

— две прямые, параллельные третьей — параллельны;

— если при пересечении двух прямых третьей, внутренние (внешние) накрест лежащие углы равны, или внутренние (внешние) односторонние углы в сумме равны 180 , то эти прямые параллельны;

— если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние и внешние накрест лежащие углы равны, и внутренние и внешние односторонние углы в сумме равны 180 ;

— две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой – параллельны;

— прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй.

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр – хорда, проходящая через центр.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол – угол с вершиной на окружности, стороны которого

18. Теоремы, относящиеся к окружности :

— радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;

— диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей;

— квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть;

— центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается;

— вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, или дополняет его половину до 180 ;

— касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны;

— произведение секущей на ее внешнюю часть – величина постоянная; Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные

стороны попарно параллельны.

19. Признаки параллелограмма . Свойства параллелограмма:

— противоположные стороны равны;

— противоположные углы равны;

— диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам;

— сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон;

— если в выпуклом четырехугольнике противоположные стороны равны, то такой четырехугольник – параллелограмм;

— если в выпуклом четырехугольнике противоположные углы равны, то такой четырехугольник – параллелограмм;

— если в выпуклом четырехугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм;

— середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Параллелограмм, все стороны которого равны, называется ромбом. 20. Дополнительные свойства и признаки ромба :

— диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

— диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов;

— если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, или являются биссектрисами соответствующих углов, то этот параллелограмм – ромб.

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником. 21. Дополнительные свойства и признаки прямоугольника :

— диагонали прямоугольника равны;

— если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм – прямоугольник;

— середины сторон прямоугольника – вершины ромба;

— середины сторон ромба – вершины прямоугольника.

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом. 22. Дополнительные свойства и признаки квадрата :

— диагонали квадрата равны и перпендикулярны;

— если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то такой четырехугольник – квадрат.

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, называется трапецией .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции .

23. Свойства трапеции:

— в равнобокой трапеции углы при основании равны;

— отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции.

24. Средняя линия трапеции обладает свойством – она параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

25. Признаки подобия треугольников :

— по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;

— по трем пропорциональным сторонам.

26. Признаки подобия прямоугольных треугольников:

— по острому углу;

— по пропорциональным катетам;

— по пропорциональным катету и гипотенузе. 27. Соотношения в многоугольниках:

— все правильные многоугольники подобны друг другу;

— сумма углов любого выпуклого многоугольника равна 180

— сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360 .

— периметры подобных многоугольников относятся, как

их сходственные стороны, и это отношение равно коэффициенту подобия; — площади подобных многоугольников относятся, как квадраты их

сходственных сторон, и это отношение равно квадрату коэффициента подобия;

Важнейшие теоремы планиметрии:

28. Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне равные отрезки, то эти прямые отсекают на другой стороне также равные отрезки.

29. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы

равен сумме квадратов катетов: .

30. Теорема косинусов. В любом треугольнике, квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла

между ними: .

31. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам

противоположных углов: , где— радиус окружности, описанной около этого треугольника.

32. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

33. Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной

34. Площадь параллелограмма равна произведению одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону (или произведению сторон на синус угла между ними).

35. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону (или половине произведения сторон на синус угла между ними).

36. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

37. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

38. Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

39. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.

40. В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равновеликих треугольника.

41. Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно

перпендикулярны, равна квадрату ее высоты: .

42. Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180 .

43. Четырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин противоположных сторон равны.

Читайте также:  Рябина полезные свойства варенье
Источники:
  • http://school-science.ru/6/7/37052
  • http://repetitors.info/otvet/?t=12802
  • http://studfiles.net/preview/3289817/