Меню Рубрики

Огэ по математике полезные материалы и шпаргалки

Шпаргалки, конечно, могут помочь сдать экзамены. Вот несколько советов по их изготовке.

1) «Обычная шпаргалка»
Берётся обычный лист бумаги, на котором мелким текстом пишутся формулы и ответы на вопросы. Лучше всего разделить лист бумаги на несколько частей, чтобы каждая часть свободно входила в карман.
Списать с такой шпаргалки бывает довольно сложно, т. к. её легко могут заметить учителя. Лучше всего садиться в середине или в конце класса.
2) «Шпаргалка-невидимка»
Берётся два листа бумаги. Один лист подкладываем под второй лист. На верхнем листе ручкой пишите нужные формулы и ответы. На ручку надо нажимать посильнее. Верхний исписанный лист можно выкинуть. На нижнем листе бумаги осталось всё, что вы написали, достаточно лишь поймать лучший угол обзора и списать всё написанное.
3) «На резинке»
Ответ пишется на небольшом листе бумаги, на обратную сторону которого скотчем крепится конец тонкой резинки, другой конец привязывается к руке. При опасном приближении преподавателя бумажка отпускается, на что резинка немедленно реагирует и прячет шпаргалку в рукав.
4) «Калькулятор»
В электронную записную книгу, похожую на калькулятор, заносится нужная информация. На экзаменах, где необходим калькулятор, такая записная книжка особых подозрений не вызывает.
5) «Дискетная»
У дискеты 1.44 необходимо отодвинуть металлическую створку и написать на внутреннем диске нужную информацию ручкой или фломастером. Потом собрать дискету обратно и шпаргалка готова. На экзамене дискета кладется на стол и, когда надо, отодвигается металлическая створка и снизу вращается диск. Дополнительно можно на дискету сверху что-нибудь наклеить, а сбоку сделать разметку, как на линейке, чтобы на вопрос: «Что это такое?» , — можно было уверено сказать: «Новая линейка» .
6) Hands free
К мобильному телефону подключается система Hands free, проводная или Bluetooth. На экзамене делается звонок напарнику, который будет диктовать ответ. Этот способ наиболее удобно использовать девушкам с длинными волосами — волосы закрывают наушник.
7) «Рулонная»
Представляет собой распечатку на туалетной бумаге. Для этого надо набрать мелким шрифтом текст, затем распечатать его на плотной туалетной бумаге. Преимущество способа в том, что на маленьком кусочке можно разместить все вопросы. Если преподаватель заметит списывание, необходимо быстро смотать туалетную бумагу в рулон, показать ее и попроситься выйти. В туалете минут за 5 можно выучить или повторить вопрос. Лучшее место для такой шпаргалки — внутренний карман пиджака или карман брюк.
8) «Плеер»
На плеер записывается нужная информация. На экзамене плеер включается и с помощью плей-листа находится нужный ответ. Но любой плеер и любые наушники на экзаменах вызывают подозрение. Чтобы списать с такой шпаргалки, нужно выбрать позицию ближе к концу класса и рядом с окном. На последнюю парту садиться не рекомендуется. Можно облокотиться на окно, зажать наушники руками и делать вид, что думаешь.
9) «Линейка»
На линейке записываются все нужные вам формулы и ответы. Желательно замаскировать их рисунками или надписями, чтобы проходящий мимо учитель не запалил вас.
10) «Под юбкой»
Вам понадобиться: чулочки, желательно не сильно темные, ручка, бумажка.
Пишем на бумажке шпаргалку и засовываем под чулочки. Во время экзамена скромненько приподнимаем юбку и смотрим.
Шпаргалку рекомендуется класть ближе к гениталиям, т. к. учитель не посмеет смотреть у вас под юбкой.
11) «Шпаргалка для девушек»
Можно написать гелиевой ручкой на ногтях, а затем покрыть ногти прозрачным лаком. Будет смотреться так, как будто ногти просто накрашены синеньким симпатичным цветом.
12) «Калькулятор»
Шпаргалку пишем на задней стороне калькулятора простым карандашом. На экзамене ставим калькулятор на стол и спокойно списываем с него.
13) «Язычок»
В язычок ботинка засовываем шпаргалку. На экзамене специально роняем ручку и нагибаясь за ней смотрим за язычок.

источник

Формулы, правила, свойства. Можно использовать для сдачи ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Для начала шпаргалка в компактном виде:

Формулы сокращенного умножения

a 3 – b 3 = (a-b)( a 2 + ab + b 2 )

a 3 + b 3 = (a+b)( a 2 – ab + b 2 )

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b+ 3ab 2 + b 3

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b+ 3ab 2 — b 3

Свойства степеней

Первообразная

Если F’(x) = f(x), то F(x) – первообразная

Геометрическая прогрессия

q – знаменатель прогрессии

b n = b1 · q n – 1 – n-ый член прогрессии

-a, если a Формулы cos и sin

Объемы и поверхности тел

1. Призма, прямая или наклонная, параллелепипед V = S·h

2. Прямая призма SБОК = p·h, p – периметр или длина окружности

3. Параллелепипед прямоугольный

S = 1/3 S·h; S – площадь основания

6. Пирамида правильная S =1/2 p·A

A – апофема правильной пирамиды

7. Цилиндр круговой V = S·h = πr 2 h

8. Цилиндр круговой: SБОК = 2 πrh

9. Конус круговой: V=1/3 Sh = 1/3 πr 2 h

10. Конус круговой: SБОК = 1/2 pL= πrL

Тригонометрические уравнения

Теоремы сложения

cos (x +y) = cosx ·cosy – sinx ·siny

cos (x -y) = cosx ·cosy + sinx ·siny

sin (x +y) = sinx ·cosy + cosx ·siny

sin (x -y) = sinx ·cosy – cosx ·siny

tg (x ±y) = tg x ± tg y/ 1 — + tg x ·tg y

ctg (x ±y) = tg x — + tg y/ 1± tg x ·tg y

sin x ± sin y = 2 cos (x±y/2)· cos (x — +y/2)

cos x ± cosy = -2 sin (x±y/2)· sin (x — +y/2)

1 + cos 2x = 2 cos 2 x; cos 2 x = 1+cos2x/2

1 – cos 2x = 2 sin 2 x; sin 2 x = 1- cos2x/2

a,b – основания; h – высота, c – средняя линия S = (a+b/2)·h = c·h

а – сторона, d – диагональ S = a 2 = d 2 /2

a – сторона, d1, d2 – диагонали, α – угол между ними S = d1d2/2 = a 2 sinα

9. Правильный шестиугольник

Правила дифференцирования

Уравнение касательной к графику функции

Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x = a , x = b

Формула Ньютона-Лебница

t π/4 π/2 3π/4 π
cos √2/2 -√2/2 1
sin √2/2 1 √2/2
t 5π/4 3π/2 7π/4
cos -√2/2 √2/2 1
sin -√2/2 -1 -√2/2
t π/6 π/4 π/3
tg √3/3 1 √3
ctg √3 1 √3/3

sin x = b x = (-1) n arcsin b + πn

cos x = b x = ± arcos b + 2 πn

Теорема синусов : a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

Теорема косинусов : с 2 =a 2 +b 2 -2ab cos y

Неопределенные интегралы

∫ x r dx = x r+1 /r+1 + C

Градус 30 45 60
sin 1/2 √2/2 √3/2
cos 1 √3/2 √2/2 1/2
tg √3/3 1 √3
t π/6 π/3 2π/3 5π/6
cos √3/2 1/2 -1/2 -√3/2
sin 1/2 √3/2 √3/2 1/2
90 120 135 150 180
1 √3/2 √2/2 1/2
-1/2 -√2/2 -√3/2 -1
-√3 -1 √3/3
t 7π/6 4π/3 5π/3 11π/6
cos -√3/2 -1/2 1/2 √3/2
sin -1/2 -√3/2 -√3/2 -1/2

Формулы двойного аргумента

cos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 2 cos 2 x -1 = 1 – 2 sin 2 x = 1 – tg 2 x/1 + tg 2 x

sin 2x = 2 sin x · cos x = 2 tg x/ 1 + tg 2 x

ctg 2x = ctg 2 x – 1/ 2 ctg x

sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x

tg 3x = 3 tg x – tg 3 x / 1 – 3 tg 2 x

sin s cos t = (sin (s+t) + sin (s+t))/2

sin s sin t = (cos (s-t) – cos (s+t))/2

cos s cos t = (cos (s+t) + cos (s-t))/2

Формулы дифференцирования

(e x )’ = e x ; (x n )’ = nx n-1 ;(log a x)’=1/x ln a

Площади плоских фигур

1. Прямоугольный треугольник

2. Равнобедренный треугольник

3. Равносторонний треугольник

4. Произвольный треугольник

a,b,c – стороны, a – основание, h – высота, A,B,C – углы, лежащие против сторон; p = (a+b+c)/2

a 2 sinB sinC/2 sin A= √p(p-a)(p-b)(p-c)

a,b – стороны, α – один из углов; h – высота S = a·h = a·b·sin α

Формулы tg и ctg

tg x = sin x/ cos x; ctg x = cos x/sin x

tg 2 (x/2) = 1 – cos x/ 1 + cos x

V = πh 2 (R-1/3h) = πh/6(h 2 + 3r 2 )

SБОК = 2 πRh = π(r 2 + h 2 ); P= π(2r 2 + h 2 )

V = 1/6 πh 3 + 1/2 π(r 2 + h 2 )· h;

V = 2/3 πR 2 h’ где h’ – высота сегмента, содержащего в секторе

Формула корней квадратного уравнения

Если D=0, то x = -b/2a (D = b 2 -4ac)

Арифметическая прогрессия

a n+1 = a n + d, где n – натуральное число

a n = a 1 + (n – 1)·d – формула n-го члена

Радиус описанной окружности около многоугольника

Радиус вписанной окружности

Площадь конуса

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилещащему. Котангенс – наоборот.

Скачать всё это в компактном виде: matematika-shpory.doc.

Главная » Подготовка к ЕГЭ. Разные предметы » Шпаргалки по математике для ЕГЭ и ОГЭ

источник

Для у спешной сдачи математики ОГЭ нужно знать основные формулы, которые школьники изучают на уроках.

Все формулы, которые пригодятся на экзамене размещены здесь, их можно скачать и распечатать.

Обязательно нужно знать формулы сокращенного умножения, не помешает знание формул степеней, ещё пригодится знание формул последовательностей и прогрессий, с таблицей квадратов и степеней так же не помешает ознакомиться.

Так же нужно будет знать формулы нахождения площадей различных фигур.

Подготовка к экзамену по математике в девятом классе включает в себя повторение материала за седьмой, восьмой, девятый классы. В том числе и формулы.

Помимо уже упомянутых, могут также встретиться формулы арифметической и геометрической прогрессии, определение модуля, которые ученики скорее всего знают, но повторить не мешало бы.

Единый гос. экзамен по математике надо сдавать в обязательном порядке всем учащимся в 9-м классе, впрочем как дальше и в 11-м, но этот предмет не сдать если не знать базовых и нужных формул по которым можно решить задачи по геометрии и алгебре. Ниже представлю нужные формулы чтобы экзамен была возможно сдать.

Перед экзаменом обязательно повторите все эти формулы. Скачать их полностью все можно с этого сайта источника. Основные — это сокращенное умножение, степени, прогрессии, геометрические и т.п. Для тех у кого гуманитарный склад ума знание формул это уже 50% успешной сдачи экзамена ОГЭ, к сожалению без него никуда.

Экзамены не за горами, многие ученики сейчас очень тщательно готовятся и вспоминают всю школьную программу, чтобы успешно сдать все экзамены.

Такой предмет как математика один из самых сложных, но он считается обязательным, поэтому к нему готовится очень хорошо, чтобы получить хорошие отметки (баллы).

Вот хорошая шпаргалка для экзамена по математике, тут и формулы степени, и формулы сокращенного умножения (как ни странно, но такое задание часто попадается на экзаменах), и логарифмы и квадратное уравнение, и производная.

Из геометрии важно помнить формулы тригонометрии, это формулы косинусов и синусов, тангенсов и котангенсов.

Еще больше формул можно посмотреть на этом сайте.

ОГЭ является основным государственным экзаменом для учеников девятого класса. Математика является обязательным экзаменом, поэтому ее сдают все ученики Для многих ОГЭ по математике является самым сложным экзаменов среди всех и не зря. Для экзамена необходимо не только выучить формулы, но и знать как их применять. На самом каждому необходимо составить свою шпаргалку, так кто точно эту формулу забудет, кто-то другую формулу.

Ниже представлены основные формулы, которые необходимо знать успешной сдачи экзамена по математике:

Также удалась найти еще один вариант формул, которые могут пригодится для подготовки к экзамену:

Вот и пришла пора ОГЭ, теперь все ученики пытаются наверстать все пробелы в учебе и подготовится.

Чтобы сдать математику, конечно нужно знать ряд формул. В принципе все эти формулы изучают на уроках. Начинают с легкого, и в 9 классах уже конечно все сложнее.

Если все темы запоминать и понимать сразу, то и на ОГЭ будет легче. Особо на шпаргалки рассчитывать не стоит, так как с каждым годом сдача ОГЭ все строже контролируется.

Ниже добавлю ряд формул, есть там и степени, и квадратные корни. А еще больше формул тут.

ОГЭ — основной государственный экзамен. Его должны в обязательном порядке сдавать ученики по окончанию 9 класса, не зависимо продолжат ли они обучение в школе, или выберут профессиональное образование. ОГЭ является аналогом ЕГЭ, так что во многом задачи экзаменов перекликаются и запоминать информацию стоит всерьез и надолго. Математика и русский язык являются обязательными дисциплинами ОГЭ. Формулы, которые ученик должен знать, что бы сдать экзамен, выглядят так:

Так же можно подсказать девятиклассникам вот этот сайт. Здесь представлена та же информация, но в более расширенном варианте. Те, кто запомнить все эти сочетания значков не в силах, смогут просто распечатать формулы и смастерить шпаргалку.

источник

Математика:
● задачи по алгебре и реальной математике:
• на движение
• на совместную работу
• на проценты
• на сплавы и смеси
● основные теоремы и определения по геометрии
● таблицы по курсу школьной программы (5-9 классы)
● теория по 50 темам
● теория по алгебре и геометрии в таблицах.
● теория и примеры по темам:
— Числа и выражения
— Уравнения и неравенства
— Функции
— Прогрессии и текстовые задачи
● сборник таблиц по курсу школьной программы

Обществознание:
● полезные конспекты (весь курс обществознания) в схемах в обычном и уменьшенном видах
● терминологические словари (подробный и краткий)
● таблицы в картинках и в формате doc по разделам:
• духовная жизнь общества
• общество
• политика
• право
• социальные отношения
• человек
• экономическая сфера жизни общества
● сборник таблиц по курсу школьной программы

Английский язык:

● готовый шаблон для письма (задание №33)
● 31 пример письма
● список тем для говорения (задания №34-35)
● таблица неправильных глаголов (задания №18-26)
● таблица времён (задания №18-26)
● словообразование (приставки и суффиксы) (задания №27-32)
● сборник таблиц
● материалы по устной части, лексике и грамматике, письму, чтению

История:
● краткая и полная теория
● хронологический справочник
● биографии исторических деятелей
● даты
● краткая История России
● самый полный терминологический словарь (900+ терминов)
● словарь терминов 6-12 веков
● словарь терминов Петровской эпохи
● словарь терминов 18-19 веков
● сборник таблиц по курсу школьной программы

Физика:
● формулы и определения за 7-й, 8-й и 9-й классы
● подробный сборник формул
● краткие формулы
● книжка-шпаргалка
● полезные таблицы
● сборник таблиц по курсу школьной программы

Биология:

● курс теории
● биология в таблицах
● подробный словарь терминов
● 2 материалы в виде билетов
● вся теория (в обычном и уменьшенном виде)
● сборник таблиц по курсу школьной программы

Информатика:
● вся необходимая теория
● сайт с разбором заданий
● перевод из одной системы счисления в другую
● операции сложения, вычитания, умножения, деления в различных системах счисления
● законы логики
● кодирование текстовой информации
● лекции по QBasic
● примеры решения задач в Паскале
● сборник таблиц по курсу школьной программы

Химия:
● кислоты, соли, основания (формулы)
● терминологические словари (подробный и краткий)
● карбоновые кислоты, их свойства
● подробные полезные таблицы:
• неорганическая химия в реакциях
• органическая химия в реакциях
• таблица Менделеева и растворимость неорганических веществ
• строение атома
• реакции ионного обмена в растворах электролитов
• формулы для решения задач по химии
● Таблицы по программе 8-9 классов

Литература:
● основные литературные направления
● 93 готовых сочинения, разобранных по авторам
● анализ произведений
● произведения в таблицах
● теоретический материал
● терминологический словарь
● характерные черты в творчестве поэтов (А.С. Пушкин, М.Ю. Лермонтов, Н.А. Некрасов, Ф.И. Тютчев, А.А. Фет, А.А. Блок, В.В. Маяковский, С.А. Есенин, А.А. Ахматова, Б.Л. Пастернак, М.И. Цветаева, А.Т. Твардовский)
● сборник таблиц по курсу школьной программы

География:
● Вся необходимая теория
● География России в таблицах и схемах
● Таблицы по курсу школьной программы (6-9 классы)
● Географический словарь терминов
● Территориальный словарь
● Акваториальный словарь
● Географический словарь: население и хозяйство
● Географические данные (страны и столицы мира, формы правления в странах мира, плотность населения стран мира, рост численности населения в странах мира, средняя продолжительность жизни в странах мира)
● сборник таблиц по курсу школьной программы

Читайте также:  Чем полезен имбирь с чаем

источник

Просто кликните по картинке. Подробно — в разделе «Решение задач ЕГЭ по математике».

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть «B» и задачу «C1». Просто, понятно и доступно. Автор — репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Внимание! Тотальная распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене 5000 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
dvd@ege-study.ru (круглосуточно)

Пробные репетиционные ЕГЭ: пройдите бесплатное тестирование! Все, как на настоящем ЕГЭ.
Звоните, чтобы записаться:

8 (495) 984-09-27 или 8 (800) 775-06-82

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

источник

Шпаргалки по математике, алгебре и геометрии
Таблица квадратов. Таблица степеней. Формулы сокращенного умножения. Модуль числа. Свойства модуля: Уравнения и неравенства с модулем. Последовательности и прогрессии. Метод кординат на плоскости. Скалярное произведение векторов. Расстояние между точками. Тригонометрия — основные формулы. Таблица значений тригонометрических функций. Решение тригонометрических уравнений: Четность и нечетность тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции. Формулы приведения. Знаки тригонометрических функций. Показательные уравнения и неравенства.
Корень n-ой степени. Степени. Иррациональные уравнения и неравенства. Логарифм, свойства логарифмов Логарифмические уравнения и неравенства. Соотношения в правильных многоугольниках. Теория вероятностей. Теоремы сложения вероятностей. Логарифмические уравнения и неравенства. Производная. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Уравнение касательной к графику функции в точке.
Тригонометрические формулы. Свойства функций, основные тождества, сумма углов. Сумма функций, формулы приведения, особые случаи, степени, половинные, двойные и тройные углы. Обратные функции.

Степенные функции y=xn и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция. Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Примеры значения степенных функций.

Неравенства, понятия, строгие, нестрогие, решение. Свойства неравенств. Решение линейных неравенств. Решение квадратных неравенств. Метод интервалов при решении неравенств.

Решение показательных неравенств. Решение логарифмическмх неравенств. Решение иррациональных неравенств. Решение неравенств с модулем. Часто применяемые неравенства

Интегрирование функций. Понятие и основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства и геометрический смысл определенного интеграла. Физический смысл определенного интеграла

Набор 2 — Алгебра. Линейная алгебра.
Свойства степеней. Формулы сокращенного умножения. Свойства арифметических корней. Модуль. Начала математического анализа: прогрессии арифметическая и геометрическая. Производная. Первообразная и интеграл. Среднее арифметическое и среднее геометрическое. Тригонометрия. Основные формулы. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Четность функций. Значения тригонометрических функций некоторых углов. Графики некоторых элементарных функций. Логарифмы. Решение квадратных, иррациональных, показательных, тригонометрических уравнений, уравнений с модулем Квадратные неравенства. Неравенства с модулем. Логарифмические неравенства. Неравенства с модулем. Иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Комбинаторика и бином Ньютона.
Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Действия с комплексными числами. Последовательности, пределы последовательности. Теоремы о пределах числовых последовательностей. Определение предела числовой функции. Односторонние пределы. Свойства пределов. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификации. Замечательные пределы. Важные пределы. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Скалярное и векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами. Линейные преобразования пространства. Матрица линейного преобразования. Связь между координатами образа и прообраза. Связь между координатами одного и того же линейного оператора в разных базисах. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Характеристические уравнения линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора и их свтойства. Поверхности второго порядка. Плоскость в пространстве. Виды углов в пространстве. Уравнения плоскости.
Делимость чисел. Кратное. Делитель. НОК. НОД Простые и составные числа. Взаимно простые числа. Числовые последовательности, члены, способы задания. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы. Характеристические свойства Числа. Множества натуральных, целых, рациональных, действительных, иррациональных чисел. Арифметические действия с дробями. Модуль — свойства. Решение квадратных уравнений. Формулы дискриминанта. Решение неполных квадратных уравнений. Теорема Виета. Алгоритм решения квадратного неравенства.
Основные свойства функций. Понятие функции. Четность и нечетность. Периодичность. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Монотонность (возрастание, убывание). Асимптоты. Алгоритм описания фукнкции.

Преобразование графиков функций у= f(x) в y=-f(x); y=f(-x); y=-f(-x); y=f(x-a); y=f(x)+b; y=f(ax); y=kf(x); y=|f(x)|; y=f(|x|). Построение графика обратной функции

Квадратичная функция. Область определения / значений. Вершина графика функции. Нули. Свойства степеней. Св-ва арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Показательная и логарифмическая функция. Область определения / значений. Промежутки знакопостоянства, монотонности, нули. Связь логарифмической и показательной функции. Свойства логарифмов. Решение показательных уравнений. Решение логарифмических уравнений. Примеры значений логарифмических и показательных функций. Тригонометрический функции синус и косинус. Область определения / значений. Промежутки знакопостоянства, монотонности, нули. Точки минимума и максимума. Четность, периоды.
Обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x, графики, свойства, область определения и значений, асимптоты, промежутки знакопостоянства, возрастания, убывания. Простейшие тригонометрические функции — связь с обратными. Примеры значений обратных тригонометрических функций. Комбинаторика. Факториал. Перестановки. Размещения. Сочетания. Биноминальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Свойства биноминальных коэффициентов. Формула бинома
Решение тригонометрических неравенств: sin x > a, sin x a, cos x a, tg x a, ctg x a, cos x a, tg x a, ctg x a, sin x a, cos x a, tg x a, ctg x
Производная функции. Определение, вторая производная, дифференцирование, геометрический и физический смысл производной, правила дифференцирования, производная сложной функции, достаточное условие монотонности функции, необходимое и достаточное условия экстремума, производные элементарных функций.
Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Действия с комплексными числами. Последовательности, пределы последовательности. Теоремы о пределах числовых последовательностей. Определение предела числовой функции. Односторонние пределы. Свойства пределов. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификации. Замечательные пределы. Важные пределы. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Скалярное и векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами. Линейные преобразования пространства. Матрица линейного преобразования. Связь между координатами образа и прообраза. Связь между координатами одного и того же линейного оператора в разных базисах. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Характеристические уравнения линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора и их свтойства. Поверхности второго порядка. Плоскость в пространстве. Виды углов в пространстве. Уравнения плоскости.

Уравнения прямой на плоскости. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой «в отрезках». Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Нормальное уранение прямой.

источник

Каждый или почти каждый человек, учившийся в школе и университете, имел дело со шпаргалками. Маленькие скомканные бумажки, «гармошки», классические записи ручкой на руке – все это варианты хорошо знакомые не только учащимся, но и успешно выявляемые при желании преподавателями и учителями. Даже поверхностное знакомство с опытом использования шпаргалок показывает, что по-настоящему оригинальных, незаметных, необычайно хитрых и оттого высокоэффективных шпаргалок было придумано не так много. Но те, что были, стали не просто экспонатами, но и поводом для гордости в музеях многих учебных центров. Как и везде, в области хитроумного списывания есть свои классики. И пусть история не знает их имен, но дело их живет.

Открытый образовательный портал 4brain.ru подготовил рейтинг самых лучших и оригинальных шпаргалок, когда-либо успешно применявшихся для списывания. Критериями были не только креативность, но и эффективность, возможность применения, удобство использования.

Казалось бы, что может быть проще самой банальной записи формулы на руке. Все так делали и удивлять здесь нечем. Но это только на первый взгляд, ведь знакомство с разновидностями таких шпаргалок еще раз подтверждает давнишнее наблюдение о том, что все гениальное – просто. Например, приходило ли вам в голову записать «шпору» между пальцами или нужные формулы мелким почерком на подушечках?

Поистине безграничные возможности открываются перед девочками, учитывая особенности их гардероба. Все видели картинки с исписанными сплошным синим текстом, который скрывается под юбкой, ногами. Более современный вариант, так сказать, ноу-хау последнего времени – маникюр со шпаргалками. Одним словом, поле для творчества есть, нужно осваивать.

Плюсы: несложно пронести с собой, легко спрятать, высокая вероятность списать.

Минусы: можно навредить коже, «материал» для написания ограничен, меньше подходит парням.

«Бомбой» называется шпаргалка с заранее приготовленными ответами на вопросы, которая непосредственно на экзамене или контрольной сдается в качестве своей работы.

Методик как сделать такую «шпору» невидимой несколько. Например, текст заранее пишется закончившейся шариковой ручкой, а на экзамене просто обводится. Еще вариант: писать ответы, подложив снизу чистый лист и сильно надавливать при этом на ручку, позже обвести.

Плюсы: высокая эффективность.

Минусы: воспользоваться можно лишь в случаях, когда известны все вопросы билета; трудно применить в случае написания работы на листах с гербовой печатью.

Порой пронести шпаргалку незамеченной гораздо труднее, чем списать с нее: личные вещи просят оставить в одном месте, телефоны отключить и сложить на первой парте и т.д. В таком случае на помощь приходит довольно оригинальный способ спрятать шпаргалку в каблуке обуви. Это конечно не гарантирует, что, в конечном счете, списать все же удастся, но вселяет некий оптимизм в собственных силах и изобретательности. Из этого же списка совет написать «шпору» на подошве обуви, если материал и цвет позволяют.

Плюсы: пронести шпаргалку точно удастся.

Минусы: по неумелости можно испортить обувь, не совсем удобно доставать.

В этом тематическом блоке мы объединили несколько способов списывания с помощью технических устройств, которыми еще 10 лет назад пользовались только герои популярных телевизионных саг о шпионах. Сегодня же нижеперечисленными средствами никого не удивишь.

В предыдущих наших статьях мы уже упоминали о списывании с помощью маленького микронаушника. Последнее время набирают популярность и другие виды. Так наиболее простым (и наиболее дешевым) в данном отношении является ручка с невидимыми чернилами. Написанное ею через минуту пропадает, а увидеть текст можно только посветив на него специальным фонариком, который, как правило, находится на другом конце ручки.

С микронаушником и телефоном посредством технологии Bluetooth можно соединить еще один полезный гаджет – GPS-ручку, которая имеет встроенный микрофон (это дает возможность сообщить другу свои вопросы, а потом через наушник слушать ответы). Многие современные органайзеры, внешне ничем не отличаются от калькулятора, который разрешен к использованию. В их память можно ввести значительные объемы информации и практически «легально» использовать.

Плюсы: высокая вероятность остаться незамеченным, эффективность, возможность работать с огромными базами данных.

Минусы: дороговизна, технические сбои, не повсеместная возможность применения.

Во время многочисленных интервью с преподавателями и учителями относительно списывания, они довольно часто рассказывают о настолько маленьких шпаргалках, спрятанных в таких непредсказуемых местах, что поневоле восхищаешься. Нередки случаи написания томика шпаргалок с последующим их скрытием под видом женского перстня. Для этого сверху, в качестве обложки, применяется какой-нибудь популярный принт, из-за чего кольцо выглядит как украшение. Самому сделать такое довольно сложно (хотя и есть пошаговые инструкции), поэтому можно купить сразу готовый вариант.

(как сделать мини-шпаргалку самостоятельно)

Еще большим проявлением хитроумия было решение сделать небольшой фолиант с подсказками из обычного ластика. Автор этой шпаргалки в стирательной резинке аккуратно по периметру вырезал своеобразный желоб. В получившееся отверстие было вложено маленькую многостраничную «шпору», верхняя страничка которой была по цвету под стать ластику.

Плюсы: преимущество 2в1 – и шпаргалка, и способ ее спрятать одновременно.

Минусы: тяжело сделать, маленький размер шпаргалок.

Вот где место для фантазии. Помимо уже знакомой многим ручки, из которой достается шпаргалка, существует множество способов либо сделать подсказку из того, что официально не запрещено использовать (нацарапать на линейке формулы, к примеру), либо спрятать бумажную «шпору» в канцелярских принадлежностях (например, в пустом тубусе от маркера).

Но поражает другая история. Все знают сказ о народном умельце Левше, который сумел подковать блоху. Бесспорно, работа филигранная. Вот и неизвестный автор, воодушевившись столь ценным примером, во время подготовки к экзамену сумел нацарапать на обычном карандаше решение 10 разных задач! В конечном итоге преподаватель это заметил, но столь кропотный, титанический труд вызвал восторг, а не гнев, и работа была вознаграждена оценкой «отлично».

Плюсы: легко принести с собой, можно пользоваться, не скрываясь, при обнаружении есть вероятность понести не столь суровое наказание.

Минусы: трудоемкий процесс изготовления, ограничено место для шпаргалки.

Об этом техническом устройстве мы решили рассказать отдельно по ряду причин. Во-первых, чтобы еще раз отдать должное эпохе высоких технологий и ее влиянию на все сферы нашей жизни, включая списывание. Во-вторых, умные часы (англ. smart watch) являются предметом с которым многие, включая экзаменаторов, еще не знакомы. Грамотное использование такого предмета в качестве шпаргалки, с высокой долей вероятности гарантирует успешную сдачу.

Технически данный аксессуар предназначен для удобства доступа к некоторым функциям современных смартфонов. Наиболее важной с точки зрения интересующей нас тематики является возможность работать с сообщениями и соцсетями. Как видно, списать в таком случае – дело техники. Спрятать «шпору» также очень легко, одно нажатие и на дисплее этого устройства будет отображаться часовой циферблат.

Существуют и мобильные телефоны в форме наручных часов. Здесь набор функций еще больше, что создает дополнительные возможности для списывания.

Плюсы: эффективность, все преимущества технических шпаргалок, внешний вид, не вызывающий вопросов у преподавателя.

Минусы: стоимость, работают в синхронизации с современными мобильными устройствами.

Под означенным заголовком скрывается довольно любопытный единичный случай, который мы, исходя из его уникальности, решили вынести отдельным пунктом и тем самым воздать должное человеческой изобретательности и находчивости.

На одном из экзаменов, двое молодых людей решили списать довольно оригинальным способом. Они купили 60 одинаковых шариковых ручек, на их колпачках написали номера билетов, а на самих ручках нацарапали ответы на вопросы. Все что требовалось дальше – иметь хорошее зрение и достать нужную ручку с рюкзака. Казалось бы, идея не новая, но ее практическая реализация и требуемая усидчивость, как минимум, заслуживают высокой оценки.

Плюсы: эффективность, незаметность.

В свое время такая шпаргалка заняла почетное место в одном университетском музее в Германии. Действительно, у человека, который первым изготовил подобного рода подсказку, с выдумкой все было в порядке. Суть идеи заключалась в том, что текст на этикетке бутылки «Кока-колы», где указывается состав и прочая техническая информация, был с помощью графического редактора заменен на шпаргалку по нужной теме. Можем лишь догадываться, но вряд ли экзаменатор догадался бы искать шпаргалку на мирно стоящей на парте бутылке газировки.

К слову, сделать такую шпаргалку не так уж сложно. Смотрим инструкцию здесь и уповаем на то, что ее не видел ваш преподаватель.

Плюсы: оригинальность, а следовательно эффективность, легально можно взять с собой на экзамен, не вызвав подозрений.

Минусы: ограниченность пространства для нанесения шпаргалки.

Итак, мы подошли к первой позиции. Но чтобы сохранить еще ненадолго интригу, рекомендуем вам посмотреть это видео, в котором показаны некоторые из уже описанных оригинальных шпаргалок, а также собраны другие не менее интересные экземпляры.

Как ни крути, а это правда. Отбросив все нравоучения и философские диспуты, реально посмотрев на вещи и оценив все за и против, бесспорно можно утверждать, что даже самая лучшая и оригинальная шпаргалка в долгосрочной перспективе не заменит хорошей подготовки. Да это трудно, а порой, кажется, что и невозможно. Важно всегда помнить, что шпаргалка призвана помочь в подготовке, но никак не заменить ее. Облегчить учебу, кстати, призваны тренинги по скорочтению и развитию памяти, а также другие материалы, размещенные у нас на сайте.

Желаем вам успехов во время сдачи экзаменов!

Оценить материал, а также поделиться собственными идеями и знаниями в области изготовления и применения оригинальных шпаргалок, можно путем написания комментария в специальной форме ниже.

источник

Вся необходимая теория для успешной подготовки к Государственной итоговой аттестации в 9 классе по математике, которая с 2015 года называется ОГЭ — общий государственный экзамен.

Чтобы перемножить десятичные дроби, надо умножать, не обращая внимания на запятую, а в полученном результате отсчитать справа налево столько знаков, сколько их после запятой во всех множителях.

Чтобы перемножить десятичную дробь и смешанное число, надо числа записать в каком-то одном виде.

Если смешанное число не переводится в десятичную дробь, то десятичную дробь переводят в обыкновенную следующим образом: дробную часть записывают в числитель, а в знаменатель надо записать единицу с таким количеством нулей, сколько знаков после запятой в дробной части десятичной дроби.

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, надо целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и результат записать в числитель, знаменатель оставить тот же.

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, надо целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и результат записать в числитель, знаменатель оставить тот же.

Чтобы сократить дробь, надо числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Если в знаменателе дроби стоит 10, 100, 1000 и т.д., то не следует на них сокращать, а лучше перевести обыкновенную дробь в десятичную.

Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называется правильной, и ее целая часть равна нулю.

Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называется правильной, и ее целая часть равна нулю.

Если числитель дроби больше знаменателя, то дробь называется неправильной, и из нее можно выделить целую часть.

При сравнении десятичных дробей сначала надо сравнить целые части. Та дробь больше, у которой целая часть больше.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю (желательно к наименьшему), надо найти НОК знаменателей дробей, далее новый знаменатель разделить на старый знаменатель каждой дроби (получим дополнительный множитель для каждой дроби), далее свой дополнительный множитель умножить на числитель и знаменатель своей дроби.

Чтобы разделить смешанные числа, надо записать их в виде неправильных дробей и разделить по правилу обыкновенных дробей.

Чтобы разделить смешанные числа, надо записать их в виде неправильных дробей и разделить по правилу обыкновенных дробей.

Чтобы число умножить на сумму, надо это число умножить на каждое слагаемое.

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, надо из большего модуля вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак «минус».

Квадрат числа можно вычислить следующим образом: а² = а ∙ а.

Произведение взаимно обратных чисел равно единице.

Чтобы умножить десятичную дробь на 100, надо запятую перенести на два знака вправо.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, надо запятую перенести влево на один знак.

Четная степень отрицательного числа дает «положительный» результат.

Нечетная степень отрицательного числа дает «отрицательный» результат.

Сумма противоположных чисел равна нулю.

Чтобы сложить отрицательные числа, надо сложить их модули, а перед полученным результатом поставить знак «минус».

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к первому числу прибавить число, противоположное другому.

Если в дробях одинаковые числители, то та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

Если разделить два числа с разными знаками, то получится «отрицательный» результат.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Чем в большую степень возводить правильную десятичную дробь, тем больше знаков после запятой получится.

Если из меньшего числа вычесть большее, то результат будет отрицательный.

Если из большего числа вычесть меньшее, то результат будет положительный.

Чтобы сложить числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший, и поставить знак числа с большим модулем.

При решении неравенств можно переносить слагаемые из одной части в другую, меняя знак слагаемых на противоположный.

Чтобы вычесть из одного числа другое, надо к первому числу прибавить число противоположное второму.

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули, а перед полученным ответом поставить знак «минус».

Если из нуля вычесть положительное число, то результат будет отрицательный.

На координатной (числовой) прямой числа, которые лежат левее нуля, называются отрицательными.

На координатной (числовой) прямой ценой деления называется длина каждого деления в единичных отрезках.

На координатной (числовой) прямой числа, которые лежат правее нуля, называются положительными.

На координатной (числовой) прямой число, которое находится правее, имеет большую координату.

По одному из свойств неравенств: если а b , то

По одному из свойств неравенств: если а b , то –а– b

Произведение двух отрицательных чисел дает положительный результат.

Чем число на координатной (числовой) прямой дальше от нуля, тем больше его модуль.

Сумма двух отрицательных чисел дает отрицательный результат.

Если из меньшего числа вычесть большее, то получится отрицательное число.

Если данное число положительное, то противоположное ему число — отрицательное.

Квадрат любого числа есть число неотрицательное.

Если число умножить на правильную дробь, то оно уменьшается.

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получим равносильное неравенство.

Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получим равносильное неравенство, при этом знак неравенства не изменится.

Нечетная степень числа сохраняет его знак.

Если из меньшего числа вычесть большее, то получится отрицательное число.

Частное двух чисел с разными знаками дает отрицательный результат.

По свойству транзитивности, если a b , то a b .

Если обе части неравенства умножить или разделить на -1, то знак неравенства изменится на противоположный..

Если обе части неравенства разделить или умножить на положительное число, то получим равносильное неравенство, при этом знак неравенства не меняется.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

При решении неравенств можно прибавлять ко всем частям неравенства одно и то же число, знак неравенства при этом не меняется.

Если при решении неравенств разделить все части неравенства одно и то же положительное число, знак неравенства при этом не меняется.

Чтобы сравнить выражения, содержащие радикал (в частности квадратные корни), надо внести множители под знак корня и сравнить подкоренные выражения.

Чтобы внести множитель под знак корня, надо этот множитель возвести в квадрат и записать его под знаком корня.

Чтобы перемножить квадратные корни из неотрицательных множителей, надо перемножить эти множители под общим знаком корня.

Чтобы сравнить квадратные корни, надо сравнить подкоренные выражения. Тот корень больше, у которого подкоренное выражение больше.

Чтобы возвести в степень произведение, надо каждый множитель возвести в данную степень.

Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня из этого же числа – два взаимно обратные действия, поэтому эти действия друг друга взаимно уничтожают.

Чтобы сократить дробь, надо числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, надо целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и результат записать в числитель, знаменатель оставить тот же.

Если в дроби и числитель и знаменатель содержат квадратные корни, то можно записать дробь под общим знаком корня.

Если в ответе получили обыкновенную дробь, то по возможности надо ее перевести в десятичную. Для этого надо числитель разделить на знаменатель.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, надо дроби привести к общему знаменателю и сложить числители.

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, надо подкоренное число разложить на такие множители, чтобы из одного из них извлекался корень.

Подобными слагаемыми называются те, которые имеют одну и ту же буквенную часть (Общий множитель). Квадратный корень из одного и того же числа может играть роль такого же общего множителя

Чтобы сравнить данные числа с ближайшими с точкой А координатами, надо эти координаты записать с виде квадратных корней.

Чтобы сравнить данное число с координатами, надо эти координаты записать с виде квадратных корней.

Квадрат суммы двух выражений вычисляется по формуле .

Квадрат разности двух выражений вычисляется по формуле

Разность квадратов двух выражений вычисляется по формуле

В уравнении можно делить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Чтобы разделить число на обыкновенную дробь, надо первое число умножить на взаимно обратное дроби.

При умножении двух чисел в разными знаками результат будет отрицательным.

Чтобы умножить число на скобку, надо число умножить на каждое слагаемое скобки.

При решении уравнения можно переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, меняя знак слагаемых на противоположный.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить числители, а знаменателями оставить без изменения.

Сократить дробь, значит разделить и числитель, и знаменатель на одно и то же число.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо одночлен умножить на каждый член многочлена.

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести дроби к общему знаменателю и сложить (вычесть) числители.

Чтобы умножить обыкновенные дроби, надо перемножить отдельно числители и знаменатели.

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо числитель разделить на знаменатель, неполное частное – целая часть, остаток – числитель, знаменатель без изменения

Чтобы «избавиться» от дробей, надо уравнение почленно умножить на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Сумма противоположных чисел равна нулю.

Подобными слагаемыми называются те, которые имеют одинаковую буквенную часть или не имеют ее вовсе.

Дробно-рациональное уравнение имеет смысл тогда, когда знаменатель дробей, входящих в уравнение, не равен нулю.

Дробно-рациональное уравнение можно свести к целому, если обе его части умножить на общий знаменатель.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Собираем подобные слагаемые, т.е. переносим их из одной части уравнения в другую, меняя их знаки на противоположные.

Если сложить числа с противоположными знаками, то надо из большего модуля вычесть меньший, поставив в ответе знак числа с большим модулем.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax ²+ bx + c =0

Дискриминант – различитель можно найти по формуле

Так как D 0, то уравнение имеет два корня.

Корни квадратного уравнения можно вычислить по формулам:

Если все числовые коэффициенты уравнения имеют общий делитель, то их можно сократить на этот делитель.

Приведенным называется квадратное уравнение, старший коэффициент которого равен единице.

Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁+х₂=- b , х₁∙х₂=с, то эти числа – корни уравнения (обратная теорема Виета).

Чтобы решить систему уравнений методом подстановки, надо вместо у во втором уравнении подставить 2х, и получим уравнение с одной переменной.

Чтобы найти значение второй переменной (у), надо в первое уравнение подставить вместо х значение равное 2 и решить получившееся уравнение.

Решение системы уравнений записывают парой чисел в виде координат точки.

Если пред скобкой стоит знак «минус», то при раскрытии скобок скобки и этот знак опускают, а знаки в скобках меняют на противоположные.

Умножить почленно каждое уравнение на такие множители, чтобы при одной из переменных получить противоположные коэффициенты.

Надо сложить почленно уравнения чтобы исключить одну из переменных (в данном случае х), и решить получившееся уравнение с одной переменной.

Если одно из уравнений не имеет решения, то и система не имеет решения.

Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение перемен­ной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у явля­ется функцией от переменной х. Значения зависи­мой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y = f ( x ). (Читают: у равно f от х .) Символом f ( x ) обозначают значение функции, соответствую­щее значению аргумента, равному х .

Все значения независимой переменной образу­ют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образу­ют область значений функции.

Если функция задана формулой и ее область оп­ределения не указана, то считают, что область оп­ределения функции состоит из всех значений аргу­мента, при которых формула имеет смысл.

1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3. описательный способ (функция задается словесным описанием)

4. графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскос­ти, абсциссы которых равны значениям аргу­мента, а ординатысоответствующим значениям функции.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .

2. Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

3. Возрастание (убывание) функции.

Возрастающая в некотором промежутке функ­ция — функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая в некотором промежутке функ­ция — функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

4. Четность (нечетность) функции

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала коор­динат и для любого х из области определения выпол­няется равенство f (- x ) = f ( x ). График четной функ­ции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х 2 — четная функция.

Нечетная функция — функция, у которой об­ласть определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (- x ) = — f ( x ). График нечет­ной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х 3 — нечетная функция.

Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х 2 ).

Свойства некоторых функций и их графики

1. Линейной функцией называется функция вида , где k и b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b ( k 0) является прямая проходящая через точку (0; b ) и параллельная прямой у = kx .

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции.

1. При k 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.

2. При k 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.

3. Множеством значений функции y = kx + b ( k 0) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.

При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из од­ного числа b .

3. При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.

При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b 0 она явля­ется четной.

При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.

Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b ) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох.

5. При k 0 имеем, что у 0, если .

Область определения этой функции — множество R действитель­ных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области опреде­ления функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x 2 , изображаем график функции.

График функции y = x 2 называется параболой.

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) — начало координат.

2. Если х ≠ 0, то у 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции у = х 2 является промежуток [0; + ∞).

4. Если значения аргумента отличают­ся только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х 2 четная).

5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х 2 возрастает.

6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х 2 убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

3.Фунуция

Область определения этой функции — промежуток [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответст­вующие значения у по формуле , изображаем график функции.

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями коорди­нат общую точку (0; 0) — начало координат.

2. Если х 0, то у 0, т.е. все точки графика функции, кроме на­чала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции является промежуток [0;+∞).

4. Функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Функция возрастающая в области определения.

6. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Область определения этой функции — множество R действитель­ных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х 3 , изображаем график функции.

График функции у= х 3 называется кубической параболой.

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) — начале координат.

2. Если х 0, то у 0, а если х 0, то у

3. Множеством значений функции у = х 3 является вся числовая прямая.

4. Если значения аргумента отлича­ются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т.е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у = х 3 — нечетная).

4. Функция у = х 3 возрастающая в об­ласти определения.

Область определения этой функции — множество R действитель­ных чисел.

Пользуясь определением модуля числа х при х О получим у = х, а при х у = — х. Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) — начале координат.

2. Если х ≠ 0, то у 0, т.е. все точки графика функции y = | x |, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции y = | x | является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = | x | — четная).

5. На промежутке [0;+∞) функция y = | x | возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = | x | убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

6. Функция

Область определения функции: .

Область значений функции: .

2. Промежутки знакопостоянства,

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k 0, то функция убывает при .

Если k .

4. Четность (нечетность) функции.

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b и с — некоторые числа, причем а≠0, называется квадратным.

В квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 ко­эффициент а называется первым коэффициентом, bвторым коэффициентам, ссвободным чле­ном.

Формула корней квадратного уравнения име­ет вид:

.

Выражение называется дискриминан­том квадратного уравнения и обозначается через D .

Если D = 0, то существует только одно чи­сло, удовлетворяющее уравнению ax 2 + bx + c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае ква­дратное уравнение имеет два равных действитель­ных корня, а само число называют двукрат­ным корнем.

Если D 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Так как а≠0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение .

называются неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

Сумма корней квадратного уравнения равна взятому с противоположным зна­ком отношению второго коэффициента к первому, а произведение корней — отношению свободного члена к первому коэффициенту, т.е.

Если сумма каких-нибудь двух чисел х1 и х2 равна ах 2 + b х + с =а(х-х1)(х-х2)

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:

Уравнение вида ах 4 + b х 2 + с = 0 называет­ся биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х 2 = y оно приводится к квадратному уравнению а y 2 + by + с = 0.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax 2 + bx + c , где x – независимая переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a 0.

Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

Свойства квадратичной функции

при b 0 функция не является ни четной, ни нечетной

при D 0 два нуля: при D = 0 один нуль:

если, а 0, D 0, то

если, а 0, D = 0, то

e сли а 0, D

если а D 0, то

Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в ко­ординатной плоскости;

2) построить еще несколько точек, принадлежащих пара­боле;

3) соединить отмеченные точки плавной линией.

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

1. Растяжение графика у = х 2 вдоль оси у в |а| раз (при |а| 1 — это сжатие в 1/|а| раз).

Если, а х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах 2 .

2. Параллельный перенос графика функ­ции у = ах 2 вдоль оси х на | m | (вправо при

Результат: график функции у = а(х — т) 2 .

3. Параллельный перенос графика функ­ции вдоль оси у на | n | (вверх при п 0 и вниз при п 0).

Результат: график функции у = а(х — т) 2 + п.

Неравенства вида ах 2 + b х + с 0 и ах 2 + bх + с 0, где х — переменная, a , b и с — некоторые числа, причем, а≠0, называют неравенствами второй степе­ни с одной переменной.

Решение неравенства второй степени с одной пе­ременной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадра­тичная функция принимает положительные или от­рицательные значения.

Для решения неравенств вида ах 2 + bх + с 0 и ах 2 + bх + с 0 поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясня­ют, имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и че­рез отмеченные точки проводят схематически параболу, вет­ви которой направлены вверх при а 0 или вниз при а 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изобража­ют параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а 0 или в нижней при а

3) находят на оси х промежутки, для которых точки парабо­лы расположены выше оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

Выясним, как расположен график относительно оси х. Решим для этого уравнение . Получим, что х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси х.

Изобразив схематически параболу, най­дем, что функция принимает отрицательные значе­ния при любом х, кроме 4.

Ответ можно записать так: х — любое число, не равное 4.

Решение неравенств методом интервалов

1. Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.

2. Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если k i четное, то нуль четной кратности, если k i нечетное — то нечетной).

3. Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, на­чиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для приведенного вида неравенств. При переходе справа налево через нуль функции от одного промежутка к сосед­нему следует учитывать:

• если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется,

• если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.

Отметим на координатной прямой нули функции f ( x ) = (х + 6) (х + 1) (х — 4).

Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-∞; -6) и (-1; 4).

Рассмотренный способ решения неравенств на­зывают методом интервалов.

источник

Набор 3 — Геометрия.
Свойства треугольников, свойства четырехугольников, свойства окружностей, правильные многоугольники. Прямоугольная декартова система координат. Тела вращения. Цилиндр, конус, усеченный конус, сфера и шар, части шара. Призма. Пирамида. Различные виды углов. Построение плоских фигур. Радиальное измерение угловых величин. Свойства треугольников и правильных многоугольников. Выпуклые многоугольники. Подобие. Признаки подобия треугольников.
Эллипс. Гипербола и ее свойства. Парабола и ее свойства. Полярная система координат. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Двугранный угол. Трехгранный угол. Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции
Геометрические места точек. Понятия. Примеры. Преобразования фигур. Параллельный перенос. Поворот. Преобразования симметрии относительно точки и прямой. Гомотетия. Подобие. Прямые и углы. Свойства прямых. Взаимное расположение прямых на плоскости. Аксиома параллельности и свойства параллельных прямых. Перпендикуляр и наклонные. Виды углов, свойства углов, признаки параллельности прямых, Теорема Фалеса.
Свойства треугольников. Неравенство треугольника. Углы треугольника. Признаки подобия треугольников, прямая — параллельная стороне. Вычисления в треугольнике. Равнобедренный, равносторонний и прямоугольный треугольники. Замечательные линии треугольника. Медиана, средняя линия, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр, взаимное расположение линий треугольника.
Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности. Вписанные и описанные окружности. Описанные и вписанные в треугольник, четырехугольник, ромб, прямоугольник, квадрат, трапецию и правильный многоугольник окружности.
Понятие вектора. Коллинеарные векторы. Действия с векторами и их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, критерий коллинеарности. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекция вектора на вектор. Разложение векторов по неколлинеарным векторам. Координаты вектора на плоскости. Действия с векторами в координатах на плоскости. Взаимное расположение векторов. Разложение вектора по координатным векторам. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнение прямой, уравнение плоскости. Уравнение окружности. Уравнение сферы.
Прямые и плоскости в пространстве. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей. Признаки параллельности прямых и плоскостей. Признаки и свойства прямых перпендикулярных плоскости и перпендикулярных плоскостей. Перпендикуляр и наклонные. Проекция наклонной, теорема о трех перпендикулярах. Определения и признаки скрещивающихся прямых. Углы в стереометрии (плоские углы в стереометрии)
Источники:
  • http://5-ege.ru/shpargalki-po-matematike/
  • http://www.bolshoyvopros.ru/questions/2546172-kakie-formuly-nuzhno-znat-po-matematike-oge.html
  • http://xn--80aff1fya.xn--p1ai/news/gia_shp/2012-05-26-113
  • http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/shpargalki/
  • http://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/MathsForTheYoungest/MathShpargalka/
  • http://4brain.ru/blog/%D1%82%D0%BE%D0%BF-10-%D0%BB%D1%83%D1%87%D1%88%D0%B8%D1%85-%D1%88%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B3%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%BA/
  • http://videouroki.net/razrabotki/tieoriia-dlia-uspieshnoi-podghotovki-po-matiematikie-dlia-oge.html