Иногда при вычислениях полезно

ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫЕ — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность (см.).

Наконец, имея дело даже с точными значениями, мы не всегда имеем возможность пользоваться ими, например, используя их при счете на вычислительных машинах, допускающих ввод в них чисел лишь с ограниченным (хотя, может быть, и большим) числом знаков. Источником приближенных чисел могут быть и те приближенные формулы (см.), по которым ведется иногда вычисление. О приближенных числах следует всегда говорить с указанием на погрешность. На практике обычно применяют такой принцип: приближенное число пишется так, чтобы в нем все цифры, кроме последней, были верными, а последняя сомнительна не более чем на единицу.
Используются также следующие способы для указания погрешности: 1) точное неравенство а≤х≤b, где а и b соответственно нижняя и верхняя границы х; 2) указание абсолютной погрешности Δa, т. е. такого положительного числа, что а — Δа ≤ х ≤ а+Δa, где а — приближенное значение х; 3) указание относительной погрешности Δa/a, иногда выражаемого в процентах.
Если приходится считаться не только с величиной погрешностей данных, но и с вероятностью различных возможных значений этих погрешностей (см. Математическая статистика), то вычисляют по определенным правилам средние квадратические погрешности результатов действий.
В своей основе элементарная теория вычислений приближенных состоит в оценке точности результатов вычисления по формулам: z = f(х₁, х₂, . . ., х_n ). Например, в сумме или разности приближенных чисел следует сохранять столько цифр после запятой, сколько их в приближенном числе с наименьшим количеством цифр после запятой.
Если даже значения х₁, х₂, . . ., х_n известны точно, то значение z может получиться лишь приближенным в силу погрешностей вычисления, полученных при пользовании таблицами, приближенными формулами, округлением результатов действий. Для учета влияния погрешностей используют формулу:

средние квадратические ошибки соответствующих величин.
Например, пусть известно, что у числа х₁ = 2,154123 все знаки верные, а у числа х₂ = 2,215 верен только один знак после запятой. Тогда х₁ + х₂ = 4,3 так как остальные знаки не будут верными в сумме.
Произведение двух приближенных чисел, имеющих к точных значащих, имеет погрешность, не превышающую 5,5 единицы разряда к-й значащей цифры. Это правило иллюстрируем на следующем примере. Пусть в числе х₁ =1,112 все знаки верны, а в числе х₂ =1,21 верна только одна цифра после запятой. Тогда х₁ х₂ имеет погрешность, не превышающую 0,1 • 5,5=0,55.

Следующие практические правила просты и общеупотребительны: 1) при умножении и делании следует сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр; 2) при возведении в квадрат и куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число; 3) при извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число.

источник

В школьной практике мы постоянно сталкиваемся с тем, что ребенок использует привычные, во многом навязанные ему способы решения. Так, например, некоторые дети, после того как изучены приемы письменных вычислений, начинают применять эти способы и при устном решении примеров. Это заставляет задуматься, что же побуждает детей обращаться к такому нерациональному приему решения? Думаю, стремление действовать в соответствии с определенными алгоритмами, избегая при этом активных усилий мысли. Т.о. перед нами встает одна из главнейших задач обучения математике – пробудить у школьника потребность активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения.

Прививая любовь к устным упражнениям, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждать у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными и экономичными. А это – важнейшее условие сознательного усвоения материала. Направленность мыслительной деятельности ученика на поиск рациональных путей решения проблемы свидетельствует о вариативности мышления.

Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приемы, помогающие значительно облгчить процесс вычисления. Некоторые из таких приемов не предусмотрены программой начальной школы, а между тем детей довольно легко подвести к ознакомлению с ними, используя современную программу и учебник.

Успешное применение различных приемов зависит в значительной мере от находчивости, изобретательности и умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Приемы устных вычислений основываются на знании нумерации, основных свойств действий, на сведении вычислений к более простым, результаты которых могут быть получены из табличных результатов.

Работа над приемами устных вычислений должна вестись с первого класса. Например, познакомив детей с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав чисел. Например, ряд чисел от 0 до 7. Поставив пальчики на крайние числа и передвигая их к центру, дети хором говорят: 7 – это 0 и 7; 1 и 6; 2 и 5 и т.д. Отработав таким образом состав чисел в пределах 10 и познакомившись с приемами перестановки слагаемых, дети легко справляются с заданием: найти сумму чисел от 1 до 10. Важно показать детям при этом и вычисления по порядку для сравнения, чтобы выделить более легкий и рациональный чисел. В дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойства сложения, легко можно найти сумму чисел: 18 + 23 + 22 + 17.

При выполнении устных вычислений иногда полезно округлять числа, прибавляя к ним несколько единиц или убавляя их. Подготовка к округлению чисел происходит на таких заданиях: сколько не хватает до 20, 30, . Далее навыки сложения и вычитания углубляются, ученики знакомятся с округлением компонентов арифметических действий. При выполнении таких заданий внимание обращается на выявление закономерности и нахождении более рационального приема вычислений.

Например: 27 + 59 = 27 + 50 + 3 + 6 (традиционный способ)

53 – 28 = 53 – 20 – 3 – 5 (традиционный способ)

А можно: 53 – 28 = 53 – 30 + 2 и т.д.

— округление одного или нескольких слагаемых;

— округление уменьшаемого или вычитаемого.

Существуют приемы, основанные на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Наблюдая примеры:

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 * 4 и т.д.,

легко находить сумму любого количества последовательных нечетных чисел, начиная с 1. Она равна произведению количества слагаемых на самого себя.

Можно использовать для вычислений такую закономерность:

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 и т.д.

Зная число Шахразады: 1001 = 7 * 11 * 13, сразу можно получить результат такого примера: 7 * 11 * 13 * 678 = 678678. Сразу можно написать ответ к выражению: 3* 7* 37 , зная, что 37 * 3 = 111 и т.д. Отсюда становится понятным моментальный ответ на задание: (10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 ) : 365 = 2.

Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия в исходной вычислительной программе.

Например: 6 + 2 – 2; 7580 : 20 * 20; 783 * 4 + 783 * 6 – 703 * 8 * 0 и т.п.

Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условие задания, суметь подметить все его особенности. Здесь главным является формирование установки на предварительный анализ условия задания. Этому помогают упражнения такого вида: 16 . 17 = 33. (Необходимо выбрать нужное арифметическое действие и обосновать). Рассуждения: было 16, стало 33, сумма увеличилась, значит выполняю действие сложения. Далее задания усложняются: 8 . 6 . 33 = 15.

Задания можно давать и в занимательной форме, например “Математический лабиринт”. Дети, выбирая то или иное арифметическое действие, сравнивают числа, им приходится мыслить целенаправленно, обосновывать сказанное.

Для рационализации вычислений существуют частные приемы умножения и деления:

приемы деления на 3, 6, 9, 5 и т.д.;
приемы умножения на 5, 9, 99, 999, 11, 101 и т.д.;
прием замены множителя или делимого разностью 68 * 5 = ( 70 – 2) * 5;
прием замены множителя или делителя произведением:
- 75 * 8 = 75 * 2 * 2 * 2;
- 960 : 15 = 960 : 3: 5;
- 84 * 84 = 7 * 12 * 7 * 12 = 49 * 144 = 50 * 144 – 144 = 100 * 72 – 144 = 7056.

Все эти приемы основаны на конкретном смысле умножения и помогают расширять знания детей о свойствах умножения и возможности рациональных вычислений задолго до знакомства с этими приемами в средней школе.

Вот как можно просто и быстро перемножать числа от 10 до 20: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Например: 16 * 18 = (16+8)*10 + 6*8 = 240 + 48 = 288

Используя описанный прием, ученик умножает на 10 и применяет табличное умножение, т.е. выполняет довольно простые мыслительные операции.

Овладение некоторыми приемами тождественных преобразований и рациональных вычислений готовит детей к успешному изучению математики в средней школе, а кроме того, перед учениками открывается совсем другая математика: живая, полезная и понятная. И очень жаль, если непонимание математических связей начинается в начальной школе. Как правило, к сожалению, такие дети не могут предложить нестандартное решение. Им трудно объяснить свой выбор, потому что они бояться ошибиться.

источник

Принципы и правила вычислений с приближенными данными. Абсолютная погрешность приближения. Способы округления чисел. Сумма границ абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Погрешность степени и корня. Обратная задача приближенных вычислений.

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский институт экономики, менеджмента и права

Научный руководитель Питерцева Галина Александровна

Введение. Вычисления в современной науке и технике

1. Приближенные значения и погрешности приближений

2. Округление чисел. Погрешность округления

Заключение. Некоторые сведения о вычислительной технике

Введение. Вычисления в современной науке и технике

Измерения и вычисления с давних времен играют важную роль в жизни общества. Необходимость подсчитывать урожай, измерять емкость сосудов, размеры земельных участков, производить расчеты при строительстве крупных сооружений, выполнять различные астрономические расчеты — вот неполный перечень задач, которые люди должны были решать еще в давние времена.

Одним из наиболее значительных событий последнего времени необходимо считать освоение человечеством космоса. Мы с волнением следим за полетами на Луну, Венеру, Марс, за созданием пилотируемых орбитальных станций. Запуск космического корабля был бы немыслим, если бы не был проведен точный расчет движения корабля, а для этого требуется выполнить колоссальную и сложную вычислительную работу.

В современный период, период научно-технической революции, роль математических методов все возрастает. Математические методы применяются не только в физике, но и в химии, биологии, медицине, экономике, истории и лингвистике

Большую вычислительную работу приходится выполнять математикам и инженерам в будничной, текущей деятельности промышленных предприятий, научных институтов, государственных учреждений, фермерских и коллективных хозяйствах.

Вычислительные методы в настоящее время широко применяются в экономических расчетах, в планировании работы отдельного предприятия, области и всего хозяйства страны.

Имеется много задач, в которых для получения численного результата требуются вычисления, превосходящие возможности одного человека. Расчет упругих напряжений в плотине, расчет сопротивлении, испытываемых самолетами при полете, или траекторий снарядов — вот примеры таких задач. Десятки инженеров-вычислителей, используя различные вычислительные машины, выполняют эту сложную вычислительную работу.

Появление ЭВМ вызвало революцию в технике вычислений. Но для того чтобы довести решение математических задач до этапа, после которого они могут быть переданы на вычислительную машину для получения численных результатов, необходим тоже труд многих вычислителей. Создание ЭВМ стимулировало развитие самой математики, особенно ее прикладных направлений, вычисления теперь играют не вспомогательную, а основную роль во многих научных и технических достижениях. Во всех случаях, когда нужно довести до конца решение какой-либо математической задачи практического характера, необходимо получить численный результат. Если исходные данные приближенные, то нельзя добиться любой степени точности результата. Надо уметь оценивать точность исходных данных, а также определять, какая точность результата может быть достигнута и какая точность результата нужна при практическом использовании полученных численных результатов. В одних вычислениях требуется получить результат с очень большой точностью, а в других такая точность не требуется. Отсюда ясно, что нужно организовывать вычисления так, чтобы получать результаты с требуемой точностью при минимальной затрате вычислительного труда.

Для достижения этой цели необходимо:

изучить принципы и правила вычислений с приближенными данными;

овладеть необходимыми навыками рациональных вычислений с помощью доступных средств, к которым относятся различные приемы устных вычислений, математические таблицы, конторские счеты, счетные логарифмические линейки, арифмометры, полуавтоматические и автоматические вычислительные машины.

1. Приближенные значения и погрешности приближений

В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, учитывать материалы и продукты труда, производить различные вычисления. Результатами различных измерений, подсчетов и вычислений являются числа. Числа, полученные в результате измерения, лишь приблизительно, с некоторой степенью точности характеризуют искомые величины. Точные измерения невозможны ввиду неточности измерительных приборов, несовершенства наших органов зрения, да и сами измеряемые объекты иногда не позволяют определить их величину с любой точностью.

Так, например, известно, что длина Суэцкого канала 160 км, расстояние по железной дороге от Москвы до Ленинграда 651 км. Здесь мы имеем результаты измерений, произведенных с точностью до километра. Если, например, длина прямоугольного участка 29 м, ширина 12 м, то, вероятно, измерения произведены с точностью до метра, а долями метра пренебрегли,

Прежде чем произвести какое-либо измерение, необходимо решить, с какой точностью его нужно выполнить, т.е. какие доли единицы измерения надо при этом принять во внимание, а какими пренебречь.

Если имеется некоторая величина а, истинное значение которой неизвестно, а приближенное значение (приближение) этой величины равно х, то пишут а х.

При различных измерениях одной и той же величины будем получать различные приближения. Каждое из этих приближений будет отличаться от истинного значения измеряемой величины, равного, например, а, на некоторую величину, которую мы будем называть погрешностью. Определение. Если число x является приближенным значением (приближением) некоторой величины, истинное значение которой равно числу а, то модуль разности чисел, а и х называется абсолютной погрешностью данного приближения и обозначается _ax: или просто _a. Таким образом, по определению,

Из этого определения следует, что

Если известно, о какой величине идет речь, то в обозначении _ax индекс а опускается и равенство (2) записывается так:

Так как истинное значение искомой величины чаще всего бывает неизвестно, то нельзя найти и абсолютную погрешность приближения этой величины. Можно лишь указать в каждом конкретном случае положительное число, больше которого эта абсолютная погрешность быть не может. Это число называется границей абсолютной погрешности приближения величины a и обозначается h_a. Таким образом, если x — произвольное приближение величины а при заданной процедуре получения приближений, то

Из сказанного выше следует, что если h_a является границей абсолютной погрешности приближения величины а, то и любое число, большее h_a, также будет границей абсолютной погрешности приближения величины а.

На практике принято выбирать в качестве границы абсолютной погрешности возможно меньшее число, удовлетворяющее неравенству (4).

Решив неравенство a—x h_a получим, что а заключено в границах

Более строгое понятие границы абсолютной погрешности можно дать следующим образом.

Пусть X — множество всевозможных приближений х величины а при заданной процедуре получения приближении. Тогда любое число h, удовлетворяющее условию a—x h_a при любом х Х, называется границей абсолютной погрешности приближений из множества X. Обозначим через h_a наименьшее из известных чисел h. Это число h_a и выбирают на практике в качестве границы абсолютной погрешности.

Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений. Действительно, если мы измеряем с точностью до 1 см какую-либо длину, то в том случае, когда речь идет об определении длины карандаша, это будет плохая точность. Если же с точностью до 1 см определить длину или ширину волейбольной площадки, то это будет высокая точность.

Для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности.

Определение. Если _ax: есть абсолютная погрешность приближения х некоторой величины, истинное значение которой равно числу а, то отношение _ax к модулю числа х называется относительной погрешностью приближения и обозначается _ax или x.

Таким образом, по определению,

Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает размерной величиной, относительная погрешность является безразмерной величиной.

На практике рассматривают не относительную погрешность, а так называемую границу относительной погрешности: такое число Е_a, больше которого не может быть относительная погрешность приближения искомой величины.

Если h_a — граница абсолютной погрешности приближений величины а, то _ax h_a и, следовательно,

Очевидно, что любое число Е, удовлетворяющее условию , будет границей относительной погрешности. На практике обычно известны некоторое приближение х величины а и граница абсолютной погрешности. Тогда за границу относительной погрешности принимают число

2. Округление чисел. Погрешность округления

При выполнении вычислений часто возникает необходимость в округлении чисел, т.е. в замене их числами с меньшим количеством значащих цифр.

Существуют три способа округления чисел:

Округление с недостатком до k-й значащей цифры состоит в отбрасывании всех цифр, начиная с (k+1)-й.

Округление с избытком отличается от округления с недостатком тем, что последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Округление с наименьшей погрешностью отличается от округления с избытком тем, что увеличение на единицу последней сохраняемой цифры производится лишь в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр больше 4.

Исключение: если округление с наименьшей погрешностью сводится к отбрасыванию только одной цифры 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная.

Из вышеуказанных правил округления приближенных чисел следует, что погрешность, вызываемая округлением с наименьшей погрешностью, не превышает половины единицы последнего сохраняемого разряда, а при округлении с недостатком или с избытком погрешность может быть и больше половины единицы последнего сохраняемого разряда, но не более целой единицы этого разряда.

Рассмотрим это на следующих примерах.

1. Погрешность суммы. Пусть x — некоторое приближение величины а, у — некоторое приближение величины b. Пусть х и у — абсолютные погрешности соответствующих приближений х и у. Найдем границу абсолютной погрешности h_a+b суммы х+у, являющейся приближением суммы а+b.

Сложим эти два равенства, получим

Очевидно, что погрешность суммы приближений x и у равна сумме погрешностей слагаемых, т.е.

Известно, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых. Поэтому

Отсюда следует, что абсолютная погрешность суммы приближений не превышает суммы абсолютных погрешностей слагаемых. Следовательно, за границу абсолютной погрешности суммы можно принять сумму границ абсолютных погрешностей слагаемых.

Обозначив границу абсолютной погрешности величины а через h_a, а величины b через h_b будем иметь

2. Погрешность разности. Пусть х и у — погрешности приближений x и у соответственно величин a и b.

Вычтем из первого равенства второе, получим

Очевидно, что погрешность разности приближений равна разности погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, т. е.

А тогда, рассуждая так же, как в случае сложения, будем иметь

Отсюда следует, что абсолютная погрешность разности не превышает суммы абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

За границу абсолютной погрешности разности можно принять сумму границ абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Таким образом.

Из формулы (9) следует, что граница абсолютной погрешности разности не может быть меньше границы абсолютной погрешности каждого приближения. Отсюда вытекает правило вычитания приближений, применяемое иногда при вычислениях.

При вычитании чисел, являющихся приближениями некоторых величин, в результате следует оставить столько цифр после запятой, сколько их имеет приближение с наименьшим числом цифр после запятой.

3. Погрешность произведения. Рассмотрим произведение чисел х и у, являющихся приближениями величин a и b. Обозначим через x погрешность приближения х, а через у — погрешность приближения у,

Перемножив эти два равенства, получим

Абсолютная погрешность произведения ху равна

Разделив обе части полученного неравенства на ху, получим

Учитывая, что модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, будем иметь

Здесь левая часть неравенства представляет собой относительную погрешность произведения ху, — относительную погрешность приближения х, а — относительную погрешность приближения у. Следовательно, отбрасывая здесь малую величину , получим неравенство

Таким образом, относительная погрешность произведения приближений не превышает суммы относительных погрешностей сомножителей. Отсюда следует, что сумма границ относительных погрешностей сомножителей является границей относительной погрешности произведения, т.е.

Из формулы (10) следует, что граница относительной погрешности произведения не может быть меньше границы относительной погрешности наименее точного из сомножителей. Поэтому здесь, как и в предыдущих действиях, не имеет смысла сохранять в сомножителях излишнее количество значащих цифр.

Иногда при вычислениях для сокращения объема работы полезно руководствоваться следующим правилом: При умножении приближений с различным числом значащих цифр в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближение с наименьшим числом значащих цифр.

4. Погрешность частного. Если x — приближение величины а, погрешность которого x, а у — приближение величины b с погрешностью y, то

Вычислим сначала абсолютную погрешность частного:

а затем относительную погрешность:

Принимая во внимание, что y мало по сравнению с y, абсолютную величину дроби можно считать равной единице. Тогда

из последней формулы вытекает, что относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя. Следовательно, можно считать, что граница относительной погрешности частного равна сумме границ относительных погрешностей делимого и делителя, т.е.

5. Погрешность степени и корня. 1) Пусть u = a n , где n — натуральное число, и пусть а х. Тогда, если E_a — граница относительной погрешности приближения x величины a, то

Таким образом, граница относительной погрешности степени равна произведению границы относительной погрешности основания на показатель степени, т.е.

2) Пусть , где n — натуральное число, и пусть а х.

погрешность вычитаемый вычисление

Таким образом, граница относительной погрешности корня n-й степени в n раз меньше границы относительной погрешности подкоренного числа.

6. Обратная задача приближенных вычислений. В прямой задаче требуется найти приближенное значение функции u=f(х,у,…,n) по данным приближенным значениям аргументов

и границу погрешности h_a, которая выражается через погрешности аргументов некоторой функции

На практике нередко приходится решать и обратную задачу, в которой требуется узнать, с какой точностью должны быть заданы значения аргументов х, у, …, z, чтобы вычислить соответствующие значения функции u = f(х, у, …, z) с наперед заданной точностью h_u.

Таким образом, при решении обратной задачи искомыми являются границы погрешностей аргументов, связанные с заданной границей погрешности функции h_u уравнением (12), и решение обратной задачи сводится к составлению и решению уравнения h_u= (h_x, h_y, …, h_z) относительно h_x, h_y, …, h_z. Такое уравнение или имеет бесконечное множество решений, или совсем не имеет решений. Задача считается решенной, если найдено хотя бы одно решение такого уравнения.

Для решения обратной задачи, которая часто бывает неопределенной, приходится вводить добавочные условия об отношениях искомых погрешностей, например считать их равными и тем самым сводить задачу к уравнению с одним неизвестным.

Заключение. Некоторые сведения о вычислительной технике

В зависимости от точности исходных данных и целей проведения вычислений пользуются различными вычислительными средствами. Работникам многих массовых профессий значительно облегчают расчеты и позволяют экономить время и труд на производство различных вычислений русские счеты, счетные логарифмические линейки, арифмометры и всевозможные карманные и настольные электронные вычислители (микро- и миникалькуляторы).

К классу миникалькуляторов в настоящее время в нашей стране относятся семейство электронных настольных калькуляторов «Искра» и семейство калькуляторов «Электроника», в которое входит и несколько типов карманных калькуляторов. По очевидным причинам эти калькуляторы морально устарели, но, тем не менее, это единственные модели, выпускаемые отечественной промышленностью.

Машины семейств «Электроника» и «Искра» предназначены главным образом для решения несложных инженерных» бухгалтерских и учетных задач с точностью порядка 8—10 значащих цифр. Во многих из них предусмотрена возможность автоматического вычисления значений элементарных функций и имеются элементы программного управления.

С быстрым ростом технической оснащенности нашей промышленности и сельского хозяйства, с развитием науки все более и более увеличивается потребность во всевозможных вычислениях. Располагая быстродействующими электронными вычислительными машинами (ЭВМ) исследователь теперь может решать такие задачи, которые раньше даже не ставились, поскольку их решение требовало слишком много времени.

Электронные вычислительные машины применяются, например, для численного решения уравнений. Первые вычислительные машины разрабатывались именно для такого рода вычислений.

В настоящее время ЭВМ с успехом используются для управления технологическими процессами. Если управление быстропротекающим процессом требует сложных вычислений, основанных на данных, получаемых в ходе этого процесса, то без ЭВМ подобная задача была бы вообще неосуществима.

Алгебра и начала анализа. Ч. 1. Под ред. Г.Н. Яковлева. — М.: Наука, 1981. 336 с.

Выготский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: 1987.

Введение в метрологию. Тюрин Н.И., М., Изд-во стандартов, 1976, 304 с.

Определение абсолютной и относительной погрешностей приближенных чисел. Оценка погрешностей результата. Интерполирование и экстраполирование данных, интерполяционный многочлен Лагранжа и Ньютона, их основные характеристики и сравнительное описание.

лабораторная работа [74,8 K], добавлен 06.08.2013

Сущность и математическая интерпретация абсолютной и относительной погрешности, способы записи величины вместе с ними. Понятие приближенного значения и погрешности приближения, направления анализа данных категорий. Правило округления десятичных дробей.

реферат [77,9 K], добавлен 13.09.2014

Характеристика и особенности основных типов погрешностей, возникающих при численном решении математических и прикладных задач: задачи, метода, округлений. Понятие и причины возникновения погрешностей измерений. Описание случайных погрешностей, моменты.

контрольная работа [143,9 K], добавлен 13.01.2012

Классическая теория измерений по поводу истинного значения физической величины, ее главные постулаты. Классификация погрешностей по способу выражения, ее типы: абсолютная, приведенная и относительная. Случайные погрешности, закон их распределения.

реферат [215,4 K], добавлен 06.07.2014

Округление заданного числа до шести, пяти, четырех и трех знаков. Расчет погрешностей после каждого округления. Определение абсолютной и относительной погрешности вычисления значений функции u с учетом того, что все знаки операндов a, b, c и d верны.

контрольная работа [131,5 K], добавлен 02.05.2012

Исследование методов определения погрешностей и статистической оценки распределений. Построение эмпирической функции, определяющей частность события для каждого значения случайной величины. Расчеты по заданной выборке, ее анализ и определение параметров.

курсовая работа [323,0 K], добавлен 13.01.2011

Введение в численные методы, план построения вычислительного эксперимента. Точность вычислений, классификация погрешностей. Обзор методов численного интегрирования и дифференцирования, оценка апостериорной погрешности. Решение систем линейных уравнений.

методичка [7,0 M], добавлен 23.09.2010

Определение номера и значения членов прогрессии для бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Вычисление относительной погрешности величины. Определение значений машинного нуля и бесконечности. Поведение погрешностей в зависимости от аргумента.

лабораторная работа [283,1 K], добавлен 15.11.2014

Исследование зависимости погрешности решения от погрешностей правой части системы. Определение корня уравнения с заданной точностью. Вычисление точностных оценок методов по координатам. Сплайн интерполяция и решение дифференциального уравнения.

контрольная работа [323,4 K], добавлен 26.04.2011

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.

контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

источник

Существуют три способа округления чисел:

Округление с недостатком до k-й значащей цифры состоит в отбрасывании всех цифр, начиная с (k+1)-й.

Рассмотрим это на следующих примерах.

Сложим эти два равенства, получим

Очевидно, что погрешность суммы приближений x и у равна сумме погрешностей слагаемых, т.е.

Известно, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых. Поэтому

Обозначив границу абсолютной погрешности величины а через h_a, а величины b через h_b будем иметь

2. Погрешность разности. Пусть х и у — погрешности приближений x и у соответственно величин a и b.

Вычтем из первого равенства второе, получим

Очевидно, что погрешность разности приближений равна разности погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, т. е.

А тогда, рассуждая так же, как в случае сложения, будем иметь

Перемножив эти два равенства, получим

Абсолютная погрешность произведения ху равна

Разделив обе части полученного неравенства на ху, получим

Учитывая, что модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, будем иметь

4. Погрешность частного. Если x — приближение величины а, погрешность которого x, а у — приближение величины b с погрешностью y, то

Вычислим сначала абсолютную погрешность частного:

а затем относительную погрешность:

5. Погрешность степени и корня. 1) Пусть u = a n , где n — натуральное число, и пусть а х. Тогда, если E_a — граница относительной погрешности приближения x величины a, то

2) Пусть , где n — натуральное число, и пусть ах.

погрешность вычитаемый вычисление

6. Обратная задача приближенных вычислений. В прямой задаче требуется найти приближенное значение функции u=f(х,у,…,n) по данным приближенным значениям аргументов

и границу погрешности h_a, которая выражается через погрешности аргументов некоторой функции

На практике нередко приходится решать и обратную задачу, в которой требуется узнать, с какой точностью должны быть заданы значения аргументов х, у, …, z, чтобы вычислить соответствующие значения функции u = f(х, у, …, z) с наперед заданной точностью h_u.

источник

Статья М. А. Бантовой «Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждения» из журнала «Начальная школа» 1982 г., №8

Одной из главных задач обучения младших школьников математики является формирование у них вычислительных навыков. Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научиться достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев – запомнить результаты наизусть. К тому же в каждом концентре изучается довольно большое количество приемов, поэтому естественно, что не все ученики сразу усваивают их, часть допускает ошибки.

В предлагаемой статье рассматриваются типичные ошибки учеников при выполнении ими арифметических действий в каждом концентре, а также методические приемы предупреждения и устранения таких ошибок.

1. Смешение действий сложения и вычитания (7 + 2 = 5, 6 – 4 = 10). Такие ошибки возникают по двум причинам. Первая причина: ученики еще не усвоили самих действий сложения и вычитания или же знаков этих действий. Чаще это происходит потому, что учитель стал рано требовать выполнения арифметических действий без использования счетного материала (палочек, геометрических фигур из набора и т. п.).

Чтобы предупредить появление названных ошибок, не следует запрещать ученикам пользоваться счетным материалом, если они иначе не могут найти результат сложения или вычитания. Для устранения уже появившихся ошибок надо вернуть учеников к работе со счетным материалом. При этом важно, чтобы сопровождались вычисления словесным рассуждением и соответствующей записью. Например, выполняя сложение 5 + 2, ученик берет 5 кружков и еще 2, затем придвигая к 5 кружкам 1 кружок, говорит: «К 5 прибавить 1, получится 6». Далее придвигая к 6 кружкам еще кружок, он говорит: «К 6 прибавить 1, получится 7. Записываю: 5 + 2 = 7».

Вторая причина ошибок в замене одного арифметического действия другим – это недостаточный анализ решаемого примера: при вычислениях ученики больше обращают внимание на числа, чем на знак действия. Поэтому важно с первых уроков обучения вычислениям приучать учеников к тому, чтобы они называли сначала вслух, а позднее про себя, какое арифметическое действие надо выполнить и над какими числами, и только после этого вычисляли результат. Так, пусть, решая пример 6 – 4, они говорят: «Это пример на вычитание (или: «Здесь надо вычитать»), из 6 вычесть 4, получится 2». Воспитывая привычку выполнять такой анализ, можно полностью устранить ошибки в замене одного арифметического действия другим.

2. Получение результата на единицу больше или меньше верного (7 + 2 = 8, 9 – 3 = 7). Подобные ошибки возникают при присчитывании и отсчитывании чисел 2, 3, 4 по единице с опорой на натуральный ряд. Например, прибавляя к 7 число 2, ученики должны назвать два числа, следующие в ряду за числом 7, однако бывает, что они первым называют данное число, а не следующее за ним (7, 8) и думают, что они прибавили 2 и что 7 + 2 = 8. Для предупреждения таких ошибок полезно, чтобы при присчитывании и отсчитывании по единице называлось промежуточные результаты (7 + 1 = 8, 8 + 1 = 9, значит, 7 + 2 = 9).

3. Неверный результат получается иногда вследствие использования нерациональных приемов. Например, выполняя сложение в случаях вида 3 + 6, часть учеников вместо приема перестановки слагаемых использует прием присчитывания по единице (по 2, по 3), а это трудно, и ученики часто забывают, сколько единиц они уже прибавили и сколько осталось прибавить, вследствие чего получают неправильный результат (3 + 6 = 8, 3 + 6 = 10 и т. п.).

Предупреждению таких ошибок помогает сравнение рациональных и нерациональных приемов вычислений. Так, обнаружив, что некоторые ученики допускают ошибки при решении примеров вида 3 + 6, учитель спрашивает, как они решали пример (3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5 и т. д.), затем другие ученики объясняют, как можно решить этот пример быстрее, легче (надо переставить слагаемые 6 + 3 = 9, результат помним наизусть). Здесь же ученики указывают, в каких случаях следует переставлять слагаемые (когда к меньшему числу прибавляем большее).

4. Запись или называние вместо результата одного из компонентов (3 + 5 = 5, 6 – 4 = 6). Такие ошибки возникают преимущественно по невнимательности. Как правило, ученики сами находят ошибку и дают верный ответ.

Для предупреждения подобных ошибок важно научить детей выполнять проверку решения путем прикидки результата: при сложении результат должен быть больше каждого из слагаемых (если ни одно из них не равно нулю); при вычитании результат должен быть меньше уменьшаемого (если вычитаемое не равно нулю); если эти отношения не выполняются, значит, в вычислениях допущена ошибка. Чтобы научить детей такой проверке надо попутно с вычислениями чаще проводить наблюдения, сравнивая результат с компонентами действий сложения и вычитания. Устранению названных ошибок помогает анализ и обсуждение неверно решенных примеров. Так, учитель спрашивает, верно ли решен пример 5 + 3 = 5 и может ли эта сумма равняться 5. Ученики сравнивают сумму со слагаемыми и говорят, что сумма должна быть больше, чем 5, так как к 5 еще прибавили 3.

5. Получение неверного результата в следствии смешения цифр. Например, ученик пишет: 4 + 2 = 9, хотя устно называет правильный ответ. Для исправления подобных ошибок необходима индивидуальная работа по запоминанию цифр: пусть ученик нарисует названное учителем число каких-либо предметов и рядом запишет цифрой соответствующее число, пусть найдет в своем наборе названные цифры и т. п.

Сложение и вычитание.

1. Смешение приемов вычитания, основанных на свойствах вычитания суммы из числа и числа из суммы. Например:

50 – 36 = 50 – (30 + 6) = (50 – 30) + 6 = 26

56 – 30 = (50 + 6) – 30 = (50 – 30) – 6 = 14

Чтобы предупредить появление подобных ошибок, надо проводить специальную работу по сравнению смешиваемых приемов, выявляя при этом существенное различие. Ученикам предлагаются пары примеров, аналогичные приведенным, решая которые, они сравнивают каждый следующий шаг:

В первом примере надо вычитать из 80 сумму чисел 20 и 7, а во втором – вычитать одно число 20 из суммы чисел 80 и 7.

80 – 27 = 80 – (20 + 7) = (80 – 20) – 7 = 53

87 – 20 = (80 + 7) – 20 = (80 – 20) + 7 = 67

В первом примере вычли 20 и вычли 7, а во втором вычли только 20 из 80 и к результату прибавили 7.

Целесообразно провести также сравнение приемов для случаев вида 60 – 28 и 68 – 20, 14 – 6 и 16 – 4 и т. п.

2. Выполнение сложения и вычитания над числами разных разрядов как над числами одного разряда.

Например, ученик складывает число десятков с числом единиц 54 + 2 = 74, вычитает из числа единиц число десятков 57 – 40 = 53 и т. п.

Для предупреждения названных ошибок полезно обсудить неверные решения примеров. Так, учитель предлагает найти среди данных примеров те, при решении которых допущена ошибка: 42 + 3 = 45; 25 + 4 = 65; 54 + 30 = 57. Затем выясняется, какая допущена ошибка: во втором примере 4 единицы прибавили к двум десяткам и получили шесть десятков, это неправильно, единицы надо прибавлять к единицам, получится 29, а не 65; в третьем примере 3 десятка прибавили к четырем единицам получили семь единиц, это неверно, десятки надо прибавлять к десяткам, получится 84, а не 57. После этого еще раз повторяется, что единицы прибавляют к единицам, а десятки к десяткам. Такую работу следует провести и при рассмотрении примеров на вычитание. С учениками, которые часто допускают подобные ошибки, полезно вернуться к использованию счетного материала (пучки палочек и отдельные палочки, полоски с кружками и другие).

3. Ошибки в табличных случаях сложения и вычитания, когда они входят в качестве операций в более сложные примеры на сложение и вычитание.

Например: 37 + 28 = 64, 58 – 6 = 53 и т. п.

Предупреждению этих ошибок будет служить постоянное внимание к усвоению учениками табличных случаев сложения и вычитания, особенно случаям с переходом через десяток. Для устранения ошибок необходима индивидуальная работа с учениками, допускающими их.

4. Получение неверного результата вследствие пропуска операций, входящих в прием, или выполнения лишних операций.

Например: 64 + 30 = 97, 76 – 20 = 50. Эти ошибки, как правило, возникают в результате не внимательности учеников. Для их устранения необходимо научить и постоянно побуждать учеников выполнять проверку решения примеров. В данном случае используется проверка, основанная на связи между компонентами и результатом действий сложения и вычитания. С этим способом проверки ученики знакомятся в концентре «Сотня». Они рассуждают: «Проверю решение примера 64 + 30 = 97: из суммы 97 вычту слагаемое 30 получится 67, а должно получиться первое слагаемое 64 значит, пример решен неверно. Решаю снова». Важно при этом, чтобы ученик сам нашел ошибку: «К четырем единицам я прибавил 3, но это 3 десятка, я их уже прибавил к десяткам». Вычитание проверяется путем сложения разности и вычитаемого, а также с помощью вычитания разности из уменьшаемого. Заметим, что способ проверки путем прикидки результата здесь не подходит: получили сумму 97 которая больше каждого из слагаемых 64 и 30, однако ответ неверен. Это не значит, что им не надо пользоваться, он часто помогает установить, что результат неверен. Пусть ученики сначала выполнят сравнение результата с компонентами, а затем обратятся к другому способу проверки.

5. Смешение действий сложения и вычитания (36 + 20 = 16, 46 – 7 = 53), запись или называние в результате одного из компонентов (14 + 8 = 14). Эти ошибки обусловлены недостаточным вниманием учеников.

Эффективным средством устранения таких ошибок на данном этапе обучения является умение и привычка учеников выполнять проверку решения примеров. Здесь ошибка сразу выявляется, если сравнить результат с компонентами, например, ученик выполнил сложение так: 36 + 20 = 16. Сравнив сумму (16) со слагаемыми (36 и 20), он сразу обнаруживает, что полученная сумма меньше каждого из слагаемых, значит, пример решен неверно.

Умножение и деление.

1. Ошибки при нахождении результатов умножения сложением.

1) Ошибки при вычислении суммы одинаковых слагаемых: 3 * 9 = 28. Вычисляя сумму нескольких слагаемых, ученик допустил ошибку в сложении.

2) Ошибки в установлении числа слагаемых: 8 * 5 = 32. Ученик нашел сумму не пяти, а четырех слагаемых, каждое из которых 8.

3) Ошибки, обусловленные непониманием смысла компонентов умножения 7 * 9 = 61. Ученик взял число 7 слагаемым 10 раз, получил 70, затем вычел из 70 не 7, а 9.

Предупреждению названных ошибок служит усиление внимания к усвоению конкретного смысла действия умножения: выполнение достаточного числа разнообразных упражнений на замену суммы одинаковых слагаемых произведением и произведения суммой одинаковых слагаемых. Кроме того, весьма полезна специальная работа по обсуждению неправильно решенных примеров, аналогичных приведенным (не надо ждать, когда ученики допустят такие ошибки!). Здесь уместно указать на важность запоминания наизусть результатов табличного умножения.

2. Ошибки, обусловленные трудностями запоминания результатов умножения. Трудными для запоминания являются следующие случаи:

1) произведения чисел, больших пяти: 6 * 7, 6 * 8, 6 * 9, 7 * 7 и т. д.

2) произведения с равными значениями: 2 * 9 и 3 * 6, 6 * 4 и 8 * 3 и т. п.

3) произведения, значения которых близки в натуральном ряду: 6 * 9 = 54, 7 * 8 = 56 и др.

Чтобы помочь запомнить результаты умножения в названных случаях, не смешивать их и не допускать ошибок, надо чаще включать эти случаи в устные упражнения и письменные работы, создавая при этом занимательные ситуации. Полезно названные случаи умножения по мере из изучения записывать на плакатах и вывешивать в классе для зрительного восприятия.

Вследствие нетвердого запоминания отдельными учениками результатов умножения, они допускают ошибки и при делении (54 : 9 = 7, 24 : 8 = 4 и т. п., поскольку при нахождении результата воспроизводят соответствующие случаи умножения. Случаи табличного деления следует чаще включать в устные упражнения, чем случаи табличного умножения.

3. Смешение действий умножения и деления (8 * 2 = 4, 6 : 3 = 18). Эти ошибки, как правило, — результат невнимательности учеников.

Для их предупреждения используют те же методические приемы, которые описаны в отношении сложения и вычитания.

4. Смешение случаев умножения и деления с числами 1 и 0, например: 8 * 0 = 8, 5 * 1 = 0, 0 : 9 = 9 и т. п.

Предупреждению названных ошибок помогают специальные упражнения на сравнение смешиваемых случаев.

5. Смешение приемов внетабличного умножения и деления с приемом сложения. Например: 35 * 2 = 65, 68 : 2 = 38. Здесь по аналогии с приемом сложения для случаев вида 35 + 2 ученик умножал на 2 три десятка и к результату прибавил 5 единиц; разделил на 2 шесть десятков и к результату прибавил 8 единиц.

Чтобы предупредить, а позднее устранить подобные ошибки, следует предлагать для решения с подробной записью и объяснением пары примеров вида 16 * 4 и 16 + 4, попутно выявляя существенное различие в приемах: при умножении двузначного числа на однозначное умножают на него и десятки, и единицы, после чего результаты складывают, а при сложении прибавляют однозначное число только к единицам. Такое же сравнение ведется при решении пар примеров вида 36 : 3 и 36 + 3. Для устранения подобных ошибок полезно проводить обсуждение неверных решений, аналогичных приведенным, в результате которого ученики сами находят ошибку (единицы не умножили или не разделили на число 2). Важно также, чтобы ученики выполняли проверку решения примеров на внетабличное умножение и деление: умножение проверяли делением произведения на один из компонентов, а деление – либо умножением частного на делитель, либо делением делимого на частное. Проверку следует выполнять преимущественно устно.

6. Смешение приемов внетабличного деления, например: 88 : 22 = 44, 36 : 12 = 33. Здесь ученики вместо использования приема подбора частного, как и при делении двузначного числа на однозначное, делят десятки, получая при этом десятки, затем делят единицы и результаты складывают.

Для предупреждения таких ошибок целесообразно предложить для решения одновременно примеры вида 88 : 22 и 88 : 2, после чего сравнить как сами примеры, так и приемы их вычислений. В таких случаях также полезно проводить обсуждение неверно решенных примеров, выявляя при этом ошибку.

7. Ошибки в табличных случаях умножения и деления, когда они входят в качестве операций в случаи внетабличного умножения и деления. Например:

19 * 3 = (10 + 9) * 3 = 10 * 3 + 9 * 3 = 30 + 24 = 54

72 : 4 = (40 + 32) : 4 = 40 : 4 + 32 : 4 = 10 + 6 = 16

Для устранения таких ошибок необходима индивидуальная работа с учениками, допускающими их.

8. Ошибки при делении с остатком, обусловленные неверным выделением числа, которое делят на делитель. Например: 65 : 7 = 8 (ост. 9). Здесь ученик делил на 7 не 69, а 56, поэтому получил неверное частное и остаток который больше, чем делитель.

Для предупреждения таких ошибок следует включать упражнения на выделение ошибок в решении примеров вида 43 : 7 = 5 (ост. 8). Подобные ошибки должны обсуждаться со всеми учащимися класса. Важно также научить учеников выполнять проверку решения примеров на деление с остатком. Пусть они каждый раз сравнивают остаток с делителем, помня, что остаток не может быть больше делителя. Однако этот способ не всегда позволяет установить, верно ли найдены частное и остаток, например: 42 : 5 = 7 (ост. 2). Поэтому надо использовать и другой способ: умножить частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток, если получится делимое, то пример решен правильно.

Тысяча. Многозначные числа.

Сложение и вычитание.

1. Ошибки, вызванные неправильной записью примеров в столбик при письменном сложении и вычитании. Например:

С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т. д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т. д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка».

2. Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, а при вычитании – единиц, которые занимали. Например:

Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя – не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением.

Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен рассуждать: «К девяти прибавить 5, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 – четыре, да 2, всего 6» и т. д. Этого делать не следует потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение, что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, 2 запоминаем 2 да 5 – 7, 7 умножить на 6, получится 42» и т. д.

3.Ошибки в устных приемах сложения и вычитания чисел больших ста (540 ± 300, 1600 ± 700 и т. п.) те же, что и при сложении и вычитании чисел в пределах ста. Для их устранения используются методические приемы, о которых говорилось выше.

Умножение и деление.

1. Ошибки в письменном умножении на двузначное и трехзначное число обусловленные неправильной записью неполных произведений:

Для предупреждения таких ошибок необходимо, чтобы ученики хорошо усвоили, почему второе неполное произведение начинаем подписывать под десятками. С этой целью на этапе ознакомления с приемом надо добиться, чтобы ученики, выполняя умножение, давали развернутое объяснение. Так, при решении приведенного примера они рассуждают: «теперь буду умножать 564 на 30; для этого 564 умножу на 3 и результат на 10; при умножении на 10 приписывают справа нуль; пишу нуль под единицами; умножаю на 3; четыре умножаю на 3, получится 12, два пишу на месте десятков, а 1 запоминаю» и т. д. На этапе закрепления знания приема ученики не пишут нуль на месте единиц второго неполного произведения, но говорят: «Нуль не пишу, а умножаю 4 на 3 и подписываю под десятками».

Полезно и в таких случаях разобрать несколько неверных решений, подобных приведенным, и выяснить, какая допущена ошибка. Выявлению ошибок самими детьми помогает проверка путем прикидки результата (500 * 30 = 15000, а получили только 2820, пример решен неправильно), а позднее, когда будут изучены соответствующие случаи деления, выполняется проверка с помощью деления произведения на один из множителей.

2. Ошибки в подборе цифр частного при письменном делении.

1) Получение лишних цифр в частном. Например:

Ученик разделил на 26 не 150 десятков, а 104 десятка, вследствие чего получил остаток 46, который можно разделить на делитель, что он и сделал, получив лишнюю цифру в частном.

Для предупреждения таких ошибок необходимо, чтобы ученики начинали деление с установления числа цифр частного, это и будет прикидка результата. Так, при решении приведенного примера они рассуждают: «Первое неполное делимое 150 десятков, значит в частном будет двузначное число». После решения примера они устанавливают, что в частном получилось трехзначное число, а должно быть двузначное, значит пример решен не верно. Полезно, чтобы при этом на первом этапе работы над приемом ученики после установления числа цифр частного ставили на их месте точки, тогда нагляднее выступит несоответствие полученного и установленного числа цифр в частном. Полезно также проводить анализ неверно выполненных решений, аналогичных приведенному. При этом выясняется, что если после вычитания получается число, которое можно разделить на делитель (46), то цифра частного подобрана неправильно, надо взять больше. Ошибка может быть обнаружена самими учениками в результате проверки решения на основе связи между компонентами и результатом деления (умножат частное на делитель).

2) Пропуск цифры нуль в частном. Например:

Здесь ученик разделил на 43 число сотен и число единиц, пропустив операцию деления 34 десятков.

В таких случаях предупреждению и выявлению ошибок помогает также предварительное установление числа цифр в частном (должно получиться трехзначное число, а получилось двузначное, значит в решении допущена ошибка). Полезно своевременно провести обсуждение неверно решенных примеров, аналогичных приведенному. При этом после установления числа цифр в частном и нахождения ошибки надо обратить внимание учеников на то, что неполных делимых должно быть столько же, сколько цифр в частном (в приведенном примере – 2, а должно быть 3) и это должно выражаться в записи:

Выполнение именно такой записи предупреждает появление названной ошибки. Важно, чтобы при этом ученики вели развернутое объяснение решения. Выявить ошибку ученики и здесь могут сами, выполнив проверку решения путем умножения частного на делитель.

3. Ошибки, вызванные смешением устных приемов умножения на двузначные разрядные и неразрядные числа. Например: 34 * 20 = 408 (умножили 34 на 2, затем 34 умножили на 10 и сложили полученные произведения 58 и 340), 34 * 12 = 680 (умножили 34 на 2 и результат 68 умножили на 10).

Как и в других случаях смешения приемов, целесообразно сравнить их и установить существенное различие: при умножении на разрядные числа умножаем число на произведение, т.е. умножаем его на один из множителей, а при умножении на двузначные неразрядные числа умножаем число на сумму разрядных слагаемых: умножаем его на каждое слагаемое и результаты складываем. Умение выполнять проверку решения способом прикидки результата и, опираясь на связь между компонентами и результатом умножения, поможет ученикам выявить ошибку.

4. Ошибки, обусловленные смешением устных приемов деления на разрядные числа и умножения на двузначные неразрядные числа. Например: 420 : 70 = 102. Ученик по аналогии с умножением на двузначное неразрядное число выполнил деление так: разделили 420 на 10, затем 420 разделили на 7 и полученные результаты 42 и 60 сложили.

Для предупреждения таких ошибок надо сравнить приемы для соответствующих случаев деления и умножения (420 : 70 и 42 * 17) и установить существенное различие (при делении на разрядные двузначные числа – делим на произведение, а при умножении на двузначные неразрядные числа – умножаем на сумму). Полезно с этой же целью проанализировать решения, в которых допущены ошибки, аналогичные приведенным. Такие ошибки легко могут установить сами ученики, если выполнят проверку, умножив частное на делитель (102 * 7 = 7140, а должно получиться 420).

5. Ошибки при письменном умножении и делении в табличных случаях умножения и деления. Такие ошибки возникают либо по невнимательности учеников, либо в результате слабого знания отдельными учениками таблицы умножения.

Чтобы устранить названные ошибки, надо проводить индивидуальную работу с отдельными учениками по заучиванию таблиц умножения, а также чаще включать табличные случаи умножения и деления в устные упражнения.

6. Ошибки, обусловленные невнимательностью учеников: пропуск отдельных операций (7200 : 9 = 8, 9000 * 7 = 63 и т. п.), смешение арифметических действий (320 : 80 = 25600) и др.

Как и в ранее описанных подобных случаях, устранению названных ошибок и здесь помогает воспитанная у детей привычка анализировать данные примеры до их решения, а также проверять решение примеров.

Таким образом, предупреждению, а также устранению ошибок в вычислениях учеников помогает использование таких методических приемов:

1) для предупреждения смешения вычислительных приемов следует выполнять под руководством учителя их сравнение, выявляя при этом существенное различие в смешиваемых приемах.

2) чтобы предупредить смешение арифметических действий, надо научить учеников анализировать сами примеры.

3) предупреждению и устранению ошибок помогает обсуждение с учениками неверных решений, в результате чего выявляется причина ошибок.

4) для выявления ошибок и их устранения самими учениками надо научить детей выполнять проверку решения примеров соответствующими способами и постоянно воспитывать у них эту привычку.

Дата добавления: 2015-10-19 ; просмотров: 16390 | Нарушение авторских прав

источник

Источники:

http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/635022/
http://revolution.allbest.ru/mathematics/00658182_0.html
http://studwood.ru/1119204/matematika_himiya_fizika/okruglenie_chisel_pogreshnost_okrugleniya
http://lektsii.org/2-84646.html