Для упрощения вычислений полезно помнить что

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

«Да куда уж проще» – говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.

Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.

Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа (да-да, к черту эти буквы).

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители.

Поэтому, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы «Дроби, рациональные числа» и «Разложение на множители».

Прочитал? Если да, то теперь ты готов.

Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них – это

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.

Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.

Например, в сумме подобные слагаемые – это и .

Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы.

Например, буква – это стул. Тогда чему равно выражение ?

Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, стульев: .

А теперь попробуй такое выражение: .

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.

Например, – это (как обычно) стул, а – это стол.

стула стола стул столов стульев стульев столов

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами.

Например, в одночлене коэффициент равен . А в он равен .

Итак, правило приведения подобных:

2. ( и подобны, так как , следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.

После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения.

Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.

Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители)

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?

В этом вся прелесть сокращения.

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) числитель и знаменатель разложить на множители

2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Некоторые делают так: , что абсолютно неверно.

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: – это множитель, значит можно сокращать.

Но нет: – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

– это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на , а потом и на :

Можно и сразу поделить на :

Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

1. Знаменатели и – взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен :

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше – по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Попробуй сам:

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

– это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь . Первую дробь нужно домножить на , вторую – на :

Кстати, есть одна хитрость:

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из единицу, то ты очень и очень неправ!

Давай вспомним основное свойство дроби:

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, , и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить , чтобы получить ?

Вот на и домножай. А домножай на :

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например, – это элементарный множитель. – тоже. А вот – нет: он раскладывается на множители .

Что скажешь насчет выражения ? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме «Разложение на множители»).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами – это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель . Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель – элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют формулы сокращенного умножения:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки ; во втором – разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Задачи для самостоятельного решения:

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Первым делом вычисляется степень.

Вторым – умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных, сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять формулы сокращенного умножения или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель – представить выражение в виде произведения или частного.

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель – представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь – элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Перво-наперво определим порядок действий.

Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.

Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.

Схематически пронумерую действия:

Напоследок дам тебе два полезных совета:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Базовые операции упрощения:

• Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
• Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения и т.д.
• Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
  1) числитель и знаменатель разложить на множители
  2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

  ВАЖНО: сокращать можно только множители!

• Сложение и вычитание дробей:
  ;
• Умножение и деление дробей:
  ;

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — Купить статью — 299 руб
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — Купить учебник — 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

источник

С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык – математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» – можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася – друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить– значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение

Также Рассмотрим пример буквенного выражения

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример: от числа Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: Упростить выражение: .

1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .

2) Вычислим произведения: .

Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

1) выполнить все возможные действия,

2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

Свойства сложения и вычитания:

1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

Свойства умножения и деления

1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.

1) 2) 1) Представим 2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение:

3)

4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .

1)

2) Вынесем за скобки общий множитель

Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни –

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.

(руб.) – на кухню

(руб.) – в прихожую

(руб.)

И так еще считать для двух видов линолеума… Можно ли упростить себе расчеты? Да, можно.

Способ 2. Пусть цена линолеума

• Какими правилами необходимо пользоваться, чтобы упростить выражения?

• * Придумай задачу и реши её по выражению:

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

источник

Главная задача логики – выяснить, является ли некоторое утверждение ложным или его можно считать истинным. Для этого было изобретено несколько методов. Разработаны способы определения того, истина это или ложь, на основе других высказываний и их атрибутов. Логическое выражение – базовое понятие науки, и его параметры определяют, какие операции могут быть совершены.

Сегодня логика изучается в форме математической логики. В ее основе исключительно формальные методы познания. Один из ключевых разделов направления – алгебра логики. Она специализируется только на сложных объектах и методах, позволяющих установить их параметры. Используются строго алгебраические способы изучения.

Наука называется алгеброй Буля, так как автором ее является Джордж Буль, сформулировавший свои основные идеи в 1854 году, когда он выпустил фундаментальную книгу. Буль поставил перед собой задание изучить операции, на основании которых функционирует человеческий ум, понять, каков механизм рассуждений, описать его символами. Добившись в этом успеха, он сумел создать новую науку.

Условное логическое выражение представляет собой некоторые переменные и постоянные, которые классифицируются простыми. Все объекты объединены между собой сравнением. В результате вычисления удается получить некоторое конечное условное выражение: истина либо ложь .

Наиболее применима логика в программировании. На примере языка Паскаль можно выделить наиболее важные операции, используемые на практике:

• определение большего из двух;
• определение меньшего из двух;
• вычисление меньшего либо равного;
• вычисление большего либо равного;
• определение равенства двух выражений;
• заключение, что выражения не равны между собой.

Если при программировании необходимо построить логическое выражение, но сравниваются между собой вещественные числа, учтен должен быть следующий факт: представление чисел неточно, так как обязательно происходит округление. Это означает, что операция вычисления строгого равенства не может быть точной. Опытные программисты рекомендуют по возможности избегать обращаться к этой операции, поскольку велика вероятность, что равенство в итоге будет посчитано как ложное, не являясь таковым.

Согласитесь, визуально видна истинность формулы. Но при записи ее в компьютерный код и неизбежности погрешности округления при расчетах она окажется ложной.

Еще один тонкий момент: условное логическое выражение обязательно записывается в скобках, если оно является операндом. Правило следует из разработанной иерархии операций. Например, сравнение по своему приоритету ниже прочих, а логических операции – высокий. Чтобы изменить относительно такого порядка процесс расчета конкретного примера, придется расставить скобки .

Под объектом в логике принято понимать такое повествование, о котором точно сообщают, что оно является ложью, истиной. Значение логического выражения, когда оно истинно, записывают единицей, второй вариант обозначается нулем.

Под логическими операциями принято понимать такие действия (как правило, мыслительный процесс), которые в итоге дают увеличение знаний, а также ведут к формированию совершенно новых объектов.

Логическое выражение бывает устным, можно его записать. Оно включается в объекты наряду с константами. Выражение напрямую зависит от переменных объектов, становясь либо единицей, либо нулем.

Если пришлось столкнуться со сложным высказыванием, нужно помнить, что оно включает в себя сложные простые выражения, для соединения которых применялись логические операции.

Логика выделяет ключевые операции, именуемые:

• конъюнкция;
• эквивалентность;
• дизъюнкция;
• импликация;
• инверсия.

Для решения практически любого примера их будет достаточно .

Под этим термином принято понимать такую сложную операцию, которая может быть истиной, лишь если оба простых составляющих являются истиной. Прочие варианты считаются ложными.

источник

Усиление внимания к рационализации вычислений связано с практической направленностью математического образования, которая означает развитие умений школьников применять полученные знания, действовать не только по образцу, но и в нестандартных ситуациях, комбинируя известные способы решения учебной задачи. Знакомство с рационализацией вычислений развивает мышление, показывает ценность знаний, которые при этом используются. «Они развивают память учащихся, быстроту их реакции, воспитывают умение сосредоточиться» [2, с. 22]. Применение свойств арифметических действий позволяет учителю воспитывать интерес к математике, вызывать у детей желание научиться вычислять наиболее быстрыми, легкими и удобными способами. Педагог должен научить школьников видеть свойства чисел и их комбинаций, определять возможности применения изучаемых преобразований.

Ю. М. Макарычев выделяет следующие приемы рационализации вычислений:

«Сочетательный и переместительный законы сложения:

Сочетательный и переместительный законы умножения:

Распределительный закон умножения:

Вынесение общего множителя за скобки:

М.З. Панасенко предлагает такие способы быстрых вычислений:

«1. Способы быстрого сложения и вычитания:

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц:

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится:

Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится:

Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число:

Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то в результате получится удвоенное большее число:

2. Способы быстрого умножения и деления:

Распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виду суммы или разности:

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10:

Умножение чисел на 5, 25, 125:

Если множитель не делится нацело на 2, 4 и 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 и 1000, а остаток на 5, 25 и 125» [3, с. 22-23].

В.Г. Прочухаев рассматривает общие и частные приемы вычислений.

«1. Сложение целых и дробных чисел:

поразрядное сложение чисел, начиная со сложения единиц высших разрядов:;

применение переместительного и сочетательного законов:;

округление слагаемых путем их увеличения или уменьшения:;

2. Вычитание целых и дробных чисел:

вычитание чисел по частям:;

поразрядное вычитание чисел, начиная с вычитания высших разрядов:;

округление вычитаемого или уменьшаемого: ;

3. Умножение целых и дробных чисел:

поразрядное умножение чисел, начиная с умножения единиц высшего разряда:;

представление множимого или множителя в виде суммы или разности:;

4. Деление целых и дробных чисел:

деление по частям и округление делимого: ;

изменение делимого и делителя в одинаковое число раз:

5. Возведение чисел в квадрат:

представление одного из сомножителей в виде суммы круглых десятков и единиц:;

применение формулы квадрата суммы двух чисел: ;

применение формулы квадрата разности двух чисел: ;

применение формул разности квадратов: » [5].

Рассмотрим некоторые приемы частных вычислений по В.Г. Прочухаеву:

1.Умножение целых и дробных чисел:

умножение на 9, 99, 999 и т. д.:

умножение на 11,12,15,19 и т. п.:

умножение чисел, у которых сумма единиц равна 10, а число десятков одинаково:;

изменение обоих сомножителей в одинаковое число раз: ;

2. Деление целых и дробных чисел:

деление на число, оканчивающееся цифрой 5:

3. Возведение чисел в квадрат:

возведение в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5:

применение формулы произведения суммы двух чисел на их разность:.

Список использованных источников

Гельфан Е.М. Арифметические игры и упражнения. – М.: Просвещение, 1968. – 112 с.

Минаева С.С. Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1983. – 128 с.

Панасенко М.З. Некоторые способы быстрых вычислений // Математика в школе. – 1992. – № 1. – С. 22-24.

Преподавание алгебры в 6-8 кл.: Сб. статей / Сост. Ю.М. Макарычев, Н.Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 1980. – 270 с.

Прочухаев В.Г. Вычисления и их роль в практической подготовке учащихся ср. шк.: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1961. – 207 с.

источник

Приемы рациональных вычислений имеют в основе хорошее знание свойств арифметических действий, знание порядка выполнения действий и умение изменять этот порядок в тех случаях, когда это позволяют законы сложения и умножения. К приемам рациональных вычислений можно также отнести приемы, облегчающие устное сложение и умножение: понимание закономерности изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов, а также приемы умножения на 10,100, 1 000, 5,15, 25, 50 и т. п.

Цель применения приемов рациональных вычислений — упрощение числовых выражений, приведение их к наиболее простой для вычислений форме.

Первыми приемами рациональных вычислений можно считать все свойства сложения, умножения и деления, с которыми дети знакомятся в процессе освоения вычислительной деятельности

34 + 118 + 16 — (34 + 16) + 118 — 50 + 118 = 168 — применили переместительное и сочетательное свойство сложения: слагаемые переставили местами для удобства вычислений, а затем заменили сумму двух соседних слагаемых ее значением.

156 + 44 + 97= 156 + (4 + 40) + 97=(156 + 4) + 40 + 97 = 160 + 40 + + 97 = 200 + 97 = 297 — применили разрядное разложение числа 44 и группировку слагаемых.

497 + 228 = 497 + (3 + 225) = (497 + 3) + 225 = 500 + 225 = 725 -применили замену слагаемого суммой удобных слагаемых и группировку слагаемых.

Знаменитый пример Гаусса: надо найти сумму первых 100 натуральных чисел.

Применим парную группировку слагаемых: 1 + 99 = 100

Таких сумм будет 49. Остается число 50 и число 100.4 900 + 100 + + 50 = 5 050.

К приемам рациональных вычислений можно отнести приемы, порожденные наблюдением за закономерностью изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов.

Прибавление к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа разность не изменяет, поэтому

28 — 9 = (28 + 1) — (9 + 1) = 29 — 10 = 19

825 — 97 = (825 + 3) — (97 + 3) = 828 — 100 = 728

Зная эту закономерность, легко вычислять в уме примеры вида: 64-8; 132 — 29; 102 — 8 — которые при выполнении по общему принципу вычитания по частям являются очень трудоемкими.

Тот же прием можно использовать в виде «округление одного или нескольких слагаемых»:

Слагаемые заменяют ближайшими к ним «круглыми» числами, затем из суммы «круглых» чисел вычитают или прибавляют соответствующие дополнения.

187 + 58 = (190 + 60) — (3 + 2) = 250 — 5 = 245

282 + 79 = (280 + 80) + 2 — 1 = 361

Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания позволяет рационализировать вычисления не только в средних классах школы, но и в начальных классах.

54 • 11 — 49 • 11 = 11 • (54 — 49) = 11 • (55 — 50) = 11 • 5 = 55

7 • 55 + 7 • 45 + 3 • 55 + 3 • 45 = 7 • (55 + 45) + 3 • (55 + 45) = = 7•100 + 3•100 = 100 • (7 + 3) = 100 • 10 = 1 000

Распределительное свойство деления относительно сложения и вычитания дает возможность рационализировать вычисления в такой же мере:

(320-64):8+ 16 = 320:8-64:8+ 16 = 40-8+16 = 32+ 16 = 48 В данном случае, фактически был нарушен канонический порядок действий (действия в скобках выполняется первым), но это нарушение позволялось правилом деления суммы (разности) на число. На последнем шаге практически можно было действовать проще, поскольку прибавление 16 — это прибавление двух восьмерок, и с учетом вычитания одной восьмерки, реально остается только одна восьмерка, т. е. сразу 40 + 8 = 48. Однако подобные перестановки ученику начальной школы не позволяет самое первое, выученное им правило: действия сложения и вычитания в выражениях без скобок выполняют по порядку слева направо.

В качестве рационализирующего приема можно рассматривать очевидную возможность не выполнять некоторые арифметические действия в исходном выражении.

Например: (101 010 — 37 564) + 37 564 = 101 010

К разности прибавляется вычитаемое, очевидно, что производить действия в скобках нет смысла. При этом не предполагается рассуждение вида «сумма чисел противоположных знаков, равных по модулю, равна нулю» — младшие школьники не знакомы с этим свойством и этими числами.

Анализ выражения показывает, что это произведение, в котором один из множителей равен нулю, следовательно все произведение равно нулю.

Более подробно рассмотрим приемы так называемого «быстрого умножения».

Приемы умножения на 10,100,1000 и другие разрядные единицы рассматривались в п. 11.

Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10, а затем результат разделить пополам.

38 • 5 = ?; 38 • 10 = 380; 380:2 = 190, значит, 38 • 5 = 190.

Прием умножения четных чисел на 5: Чтобы умножить число на 5, можно разделить его на 2 и результат умножить на 10.

62 482 — 5 = 62 482 : 2 • 10 = 31 241 • 10 = 312 410

Чтобы умножить число на 15, нужно умножить его на 10, затем умножить его на 5, и результаты сложить.

65 • 15 = ? 65 • 10 — 650 65 • 5 = 65 10:2 = 650:2 = 325 650 + 325 = 975

Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100, и полученный результат разделить на 4.

12 • 25 = ? 12 • 100 = 1200 1200 : 4 = 300

В данном примере можно было действовать и другим способом:

12 • 25= 25 • 12 = 25 • 4 • 3 = 100 • 3 = 300

Сначала применяется перестановка множителей, затем второй множитель заменяется произведением двух чисел и применяется сочетательное свойство умножения.

Чтобы умножить число на 125, можно умножить его на 1000 и результат разделить на 8.

296 • 125 — 296 • 1000 : 8 = 296 000 : 8 = 37 000

Чтобы умножить число на 75, можно разделить его на 4, умножить частное на 3, а результат умножить на 100.

268 • 75 = 268:4 • 3 • 100 = 67 • 3 • 100 = 20 100

Прием умножения четного числа на 55: Чтобы умножить четное число на 55, можно разделить его на 2, частное умножить на 100 и на 10, а затем оба результата сложить.

398 • 55=398:2 • (100 +10) = 199 (100 +10) = 19 900 +1990 = 21890

Прием умножения двух одинаковых множителей, число единиц в которых равно 5:

Чтобы выполнить умножение, можно количество десятков умножить на последующее число и к полученному результату приписать 25.

35 • 35 = 1225 75 • 75 = 5625 45 • 45 = 2025

Прием умножения на 9 (99,999):

Чтобы умножить число на 9 (99, 999), можно умножить его на 10 (100, 1000) и из полученного результата вычесть само число.

52 • 99 = 52 • 100 — 52 = 5200 — 52 = 5148

Прием умножения двузначного числа на 99: Чтобы умножить двузначное число на 99, можно к предшествующему числу приписать его дополнение до 100.

63 • 99 = 6237 79 • 99 = 7821

Прием умножения двузначного числа на 11: Чтобы умножить двузначное число на 11, можно раздвинуть его числа и вставить между ними их сумму. Если сумма является двузначным числом, то единицы суммы вставляются между цифрами, а десятки прибавляются к первой цифре.

Прием умножения двузначного числа на 101: Чтобы умножить двузначное число на 101, можно справа к нему приписать само число.

Чтобы разделить число на 4 (8, 16), можно разделить его на 2 дважды (трижды, четырежды).

Чтобы разделить число на 5, можно умножить его на 2, а результат разделить на 10.

Чтобы разделить число на 25, можно число умножить на 4, а результат разделить на 10.

315 : 25 = 315 • 4 : 10 = 1260 : 10 = 126

Чтобы разделить число на 125, можно число умножить на 8, а результат разделить на 1000.

405 000 :125 = 405 000 • 8 :1000 = 3 240 000 : 1000 = 3240

Использование этих приемов позволяет производить устно достаточно сложные вычисления, требующие обычно применения письменных способов вычислений. Естественно, практически очень трудно выучить наизусть все эти приемы, но наиболее часто используемые со временем запоминаются. Для остальных приемов дети могут изготовить карточки — на каждый прием по карточке, использование таких «подсказок» поможет ребенку эффективно справляться со многими трудными случаями устного счета.

источник

Азовская районная научно-практическая конференция учащихся

Подсекция: Общая математика.

1.1. Как появились числа …………………………………………. 5

1.2. Зачем нужно уметь считать в уме? Виды устного счёта ………… 6

2. Глава II . Как считали в старину

2.1. Умножение на пальцах ………………………………………………7

2.2. Крестьянский способ умножения на Руси ………………………… 8

2.3. Счёт методом «решётки» ………………………………………………9

3. Глава III . Приёмы устного счёта

3.1. Приёмы сложения и вычитания………………………………………11

3.2. Приёмы умножения и деления ………………………………………12

3.3. Приёмы возведения в квадрат ………………………………………13

5. Библиографический список …………………………………………………16

В системе учебных предметов математике принадлежит особая роль. Ведь математика одна из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата коммунальных услуг, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.

Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.

Цель: изучить и показать различные приемы быстрого счета, доказать необходимость их применения для упрощения вычислений.

1. Изучить различные приёмы быстрого счёта.

2. Выяснить, пользуются ли учащиеся 5-7 классов приёмами быстрого счёта и если да, то какими.

3. Показать учащимся приёмы быстрого счёта.

4. Провести исследование качества устного счёта до применения приёмов и после. Сделать выводы.

5. Составить рекомендации для учащихся 5-7 классов «Как научиться быстро считать».

Объект исследования: приемы быстрого счета, учащиеся 5-7 классов.

Предмет исследования : процессы быстрых вычислений.

Гипотеза исследования: если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится качество знаний учащихся, и им будет легче решать практические задачи.

Приёмы и методы : изучение специальной литературы по теме, посещение сайтов, анкетирование, тренинги для быстрого счёта, анализ и обработка данных в электронных таблицах, практическая работа, наблюдения.

Работа относится к прикладным исследованиям , т.к. в ней показывается роль применения приемов быстрого счета для практической деятельности.

При работе над докладом я пользовалась следующими методами:

поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность моего исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно. А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека. Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием. Именно использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

Из моих одноклассников мало кто умеет считать быстро устно и мне захотелось выяснить, а знают ли они приемы быстрого счета, если нет, то помочь им освоить эти приемы, с этой целью составить для них памятку с приемами быстрого счета.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен тестовый опрос.

Я провела анкетирование в 5-7 классах нашей школы, задавая ребятам простые вопросы. Зачем вообще нужно уметь считать? При изучении каких школьных предметов требуется правильный счет? Знают ли они приемы быстрого счета? Хотели бы научиться быстро считать устно? ( прил.6.1. Анкета для учащихся ).

Было опрошено 45 учащихся. Проанализировав результаты, я пришла к выводу, что большинство учеников считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики, физики, химии, информатики. Приемы быстрого счета знают несколько учеников и почти все хотели бы научиться быстро считать. Результаты я представила в виде диаграммы. ( прил.6.2 )

Проведя статистическую обработку данных, я сделала вывод, что не все учащиеся знают приемы быстрого счета, поэтому необходимо сделать памятки с приемами быстрого счета, чтобы использовать их при выполнении вычислений.

Затем я показала учащимся несколько приёмов быстрого счёта и предложила ими воспользоваться. Скорость счёта увеличилась, количество правильных ответов возросло, учащиеся стали меньше допускать ошибок. Все данные я обработала в электронных таблицах и представила в виде диаграмм и таблиц.

Считать люди научились давно — ещё в каменном веке — десятки тысяч лет назад. Каким образом они делали подсчёты? По всей видимости они использовали метод сравнения различных количеств одинаковых предметов и выстраивали соотношения «больше – меньше – равно». Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха–Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон–бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе…», «ибон–али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба–бе» (одна нога) и «самба–али» (две ноги). Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

1.2. Зачем нужно уметь считать в уме? Виды устного счёта

Многие, наверное, согласятся, что это вопрос риторический. Современный ребёнок часто возмущается, когда в школе его заставляют учить на память таблицу умножения. «Ну, зачем. », — удивлённо вскидывают они свои глаза к небу. Ведь сейчас век информационных технологий, существуют калькуляторы.

На самом деле существует не одна причина знать таблицу умножения и уметь быстро считать в уме. Во-первых, это в значительной мере тренирует память, особенно в период развития интеллектуальных способностей человека, когда закладывается база его логического способа мышления. Во-вторых, умение производить в уме логические математические операции способствуют формированию абстрактного мышления, что в принципе необходимо при изучении математики и других точных наук.

Уметь быстро считать полезно взрослым и детям. Сколько раз приходилось наблюдать ситуацию, когда человек мучится с тем, чтобы правильно отсчитать сдачу на рынке, или пробует высчитать, на сколько грядок ему хватит купленной рассады, или задумчиво чешет затылок, высчитывая, на какие именно числа придутся начальная и конечная даты его отпуска.

Следует различать два вида устного счёта:

Первый – это тот, при котором примеры и задания записаны в виде карточек или на доске. Подкрепляя слуховые восприятия учащихся, зрительный ряд фактически делает не нужным удерживание данных чисел в уме, чем существенно облегчает процесс вычислений. Однако, именно запоминание чисел, над которыми производятся действия, — важный момент устного счёта. Тот, кто не может удержать числа в памяти, в практической работе оказывается плохим вычислителем.

Поэтому нельзя недооценивать второй способ – когда числа воспроизводятся только на слух. Учащиеся при этом ничего не записывают и ни какими наглядными пособиями не пользуются. Естественно, что второй вид устного счёта сложнее первого. Но он эффективнее, при том условии, что удается увлечь всех ребят. Последнее обстоятельство очень важно, поскольку при устной работе трудно контролировать каждого ученика.

Глава II . Как считали в старину

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел — не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

2.2. Крестьянский способ умножения на Руси

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

деление заканчивается, когда слева появится единица;

вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа; 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

источник

Способы быстрого сложения и вычитания (для быстрого сложения и вычитания используется «прием округления», который применяется, если хотя бы один из компонентов является числом, близким к круглым десяткам, сотням, тысячам и т.д.)

1. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

2. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. На основании этого выполняется округление одного слагаемого за счет другого.

3. Если вычитаемое, увеличить на несколько единиц, то, чтобы разность не изменилась, надо и уменьшаемое увеличить на столько же единиц.

4. Если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то к полученной разности надо прибавить столько же единиц.

1. Умножение на 9, 99, 999 и т.д.

Чтобы умножить любое число на число, написанное девятками, надо к первому множителю приписать справа столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

2. Умножение на число, близкое к единице какого-нибудь разряда.

3. Умножение двузначного числа на 11.

Чтобы умножить двузначное число, сумма цифр которого меньше 10, на 11, надо между цифрами числа написать сумму его цифр

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого больше или равна 10, надо между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой единиц написать разность между суммой цифр числа и числом 10.

Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и умножить на 10, 100, 1000.

Чтобы разделить число на 5, 25, 125, достаточно умножить его соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

6. Возведение в квадрат чисел, в записи которых есть цифра 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо число его десятков умножить на число, увеличенное на единицу, и справа дописать 25.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, имеющее 5 десятков, надо к числу 25 прибавить число единиц и к результату дописать справа квадрат числа единиц так, чтобы получилось четырехзначное число.

источник